授课主题
等差数列的通项公式及性质 1.通过实例，理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 教学目标
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题. 教学内容 1．等差数列的定义 等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数. 定义的数学式表示为an－an－1＝d (与n无关的常数) ，n≥2，n∈N*． 2．等差数列的通项公式 首项为a1公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 3．等差中项 等差中项的定义：如果a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项 4．等差数列的增减性 等差数列当公差d>0时，为递增数列；当公差d<0时，为递减数列． 5．等差数列的图像 等差数列的图象是一条射线上的一群孤立点． 6．等差数列的性质 1)设{an}为等差数列，若已知公差为d，则an－am＝(n－m)d.由此知，an＝am＋(n－m)d. 2)设{an}为等差数列，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 3)设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． 设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． 4)设{an}为等差数列，则对于任意常数b，有{ban}为等差数列． 等差数列{an}的等间隔项组成的数列为等差数列， 如已知{an}为等差数列，且其公差为d，则{3an}为等差数列，其公差为3d；{a2n－1}是等差数列，其公差为2d． 5) 若{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且cn＝an＋bn，dn＝an－bn，则{cn}与{dn}也为等差数列． 1
题型一 等差数列的通项公式 例1 等差数列{an}中，已知a9＝3，a18＝12，求a36、an. 解析：由a9＝3得：a1＋8d＝3， 由a18＝12得：a1＋17d＝12. 解方程组得：d＝1，a1＝－5. ∴a36＝－5＋35＝30； an＝－5＋(n－1)＝n－6，n∈N*. 巩 固 已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列中的项．如果是，是第几项？ 解析：解法一：设等差数列的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.∵a15＝33，a61＝217， ???33＝a1＋14d，?a1＝－23，∴?解得? ??217＝a＋60d，d＝4，??1 ∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27. 令an＝153，则4n－27＝153，得n＝45∈N*， ∴153是所给数列的第45项． 解法二：∵{an}不是常数列， ∴{an}的通项公式是关于n的一次函数．假设153是该数列的第n项，则(15,33)、(61,217)、(n,153)三点共线． ∴217－33153－33＝，解得n＝45∈N*， 61－15n－15∴153是所给数列的第45项． 题型二 等差中项的应用 例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 解析：解法一：∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7 的等差中项， －1＋7∴b＝＝3. 2又a是－1与3的等差中项， －1＋3∴a＝＝1. 2又c是3与7的等差中项， 3＋7∴c＝＝5. 2解法二：设a1＝－1，a5＝7， ∴7＝－1＋(5－1)d?d＝2，an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3， 2
∴所求的数列为－1,1,3,5,7. a＋b1点评：若a、A、b成等差数列，即A＝，则A就是a与b的等差中项，若A＝(a＋b)时，则a、A、b成等差22数列，这是判定三个数成等差数列的条件． 巩 固 某办公室共有6个人，其年龄成等差数列，已知年龄最大的为52岁，而6个人的年龄和为237岁，求年龄最小的为多少岁？ 解析：设等差数列的a1＝52，公差为d，则d＜0， ∴a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝237， ∴52×6＋15d＝237，∴d＝－5， ∴a1＋5d＝52－5×5＝27， ∴年龄最小的应为27岁． 题型三 等差数列的判定 例3 已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2an. an＋2?1?(1)数列?a?是否为等差数列？说明理由． ?n?(2)求an. 11分析：先将递推公式变形，推导－为常数． an＋1an?1?解析：(1)数列?a?是等差数列，理由如下： ?n?∵a1＝2，an＋1＝∴∴112an， an＋2an＋211＝＝＋， 2anan＋12an11?1?111－＝. 即?a?是首项为＝，公差为d＝的等差数列． a122?n?an＋1an211n(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝， ana122∴an＝. n点评：根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差数列，要看任意相邻两项的差是否为同一常数，要判断一个数列为等差数列，需证明an＋1－an＝d(d为常数)对n∈N*恒成立，若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可． 巩 固 在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________ 解析：由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以an＝2n－1. 答案：2n－1 题型四 利用等差数列的通项公式或性质解题 3
例4 等差数列{an}中，如果a5＝11，a8＝5，求数列的通项公式． 分析：求等差数列的通项公式只要求a1、d两个量即可． ???a5＝a1＋4d＝11，?a1＝19，解析：解法一：由题意 ????an＝19＋(n－1)×(－2)， ??a＝a＋7d＝5d＝－2?8?1 故数列的通项公式为an＝21－2n. 解法二：a8－a5＝5－11＝3d?d＝－2， a5＝a1＋4d?a1＝19， 故an＝21－2n. 点评：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可以称为“知三求一”．有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值． 巩 固 数列{an}各项的倒数组成等差数列，如果a3＝ 2－1，a5＝2＋1，求a11. 分析：题目中给出了两个数列，首先要清楚两个数列的关系，数列{an}并不是等差数列，它的倒数列才是等差数列．应首先根据等差数列的知识考虑倒数列，后根据倒数关系求a11. 解析：设{an}各项的倒数组成等差数列为{bn}，则 b3＝2＋1，b5＝2－1. ?b1＋2d＝2＋1，?b1＝3＋2，1－7－2???b11＝b1＋10d＝2－7?a11＝＝. ?b4711d＝－1?b＋4d＝2－1?1题型五 利用等差数列的性质解题 例5 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式. 解析：解法一：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， ∴a4＝5. 又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得：d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. 解法二：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， ∴a4＝5， ∴a2＋a6＝2a4＝10. 又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，从而a2，a6可看成方程x2－10x＋9＝0的两根， ???a2＝1?a2＝9，?解得：或? ?a6＝9???a6＝1， ∴an＝2n－3或an＝13－2n. 点评：等差数列的运算常用两条思路：①根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1、d，然后求其他；②利4
用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)?am＋an＝ak＋al＝2as. 巩 固 在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，则a8＋a9＋a10的值为( ) A．72 B．60 C．48 D．36 分析：在题目中的项很多，利用通项公式转化为两个基本量a1和d，但并不能直接求出a1和d，因此利用a1和d来寻找所求和已知的等量关系． 解析：解法一：设此数列的首项为a1，公差为d，则 a5＋a13＝a1＋4d＋a1＋12d＝2a1＋16d＝40， 即a1＋8d＝20. a8＋a9＋a10＝a1＋7d＋a1＋8d＋a1＋9d＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝60. 解法二：可以应用等差数列的性质： 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，所以有a8＋a10＝a5＋a13＝2a9＝40，故a8＋a9＋a10＝60.故选B. 答案：B 题型六 等差数列的运算 例6 已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第110项是{an}的第几项？ 分析：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其项数构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列． 解析：(1)∵a1＝3，d＝－5， ∴an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n. 数列{an}中项数被4除余3的项是{an}的第3项，第7项，第11项，…，这些项组成一个新的等差数列(第二问中加以证明)，其首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项， 即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1， ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n，n∈N*. ∵bn－bn－1＝－20(n≥2，n∈N*)， ∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n. (3)b110＝13－20×110＝－2 187，设它是{an}中的第m项，则－2 187＝8－5m，则m＝439. 点评：数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系． 巩 固 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数． 解析：解法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 5
4.1.1等差数列通项公式及其性质
