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考点17 平面向量数量积及应用
一、考纲要求 内 容 A 平面向量的数量积 平面向量的平行于垂直 平面向量的应用 √ 要 求 B √ C √ 1. 了解平面向量数量积的含义及其物理意义 .
2. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直 .
3. 了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具 二、近五年江苏高考 年份 考查知识点 2019年 平面向量的线性运算与数量积的结合 2018年 平面向量的数量积与直线、圆的结合 2016年 平面向量的线性运算与数量积的结合 2015年 平面向量的线性运算与数量积的结合 平面向量的数量积作为 C 级考点，是高考中的必考点，考查题型中填空题、解答题都有涉及，分值在 20 分左右，难度低、中档题为主 . 向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算 . 在研究向量时，一般有两个途径:一是建立直角坐标系用坐标研究向量间的问题；二是用基底向量来研究 . 与向量数量积有关的最值问题或求参数的取值范围，可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究，也可以考虑其几何意义，从几何角度来研究 三、考点总结：
向量数量积是江苏高考必考题型，在复习是一定要注意向量数量积的两种形式：一是坐标形式，常用的方法是建立坐标系。二是模的形式，常采取的方式是向量的转化。 四、近几年江苏高考题
1、（2019年江苏高考）.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB?AC?6AO?EC，则
AB的值是_____. AC2
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【答案】3. 【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA，AO=OD.
6AOEC?3ADAC?AE???AB?AC??AC?AE? ?3?2223?11?ABAC?AB?AC?ABAC?? 2?33?31??AB?AC?AC?AB??23????22?223?2113??ABAC?AB?AC??ABAC?AB?AC?ABAC， 2?3322?22AB13AB?AC,即AB?3AC,故?3. 22AC得
2、（2018江苏卷） 在平面直角坐标系的圆C与直线l交于另一点D．若【答案】3
中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径
，则点A的横坐标为________．
【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设得点D的横坐标由因为
得，所以
，则由圆心为所以
.所以
或
中点得
易得
， ，
，与
联立解
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一
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般方法.
3、（2016江苏卷）. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BC?CA?4，
BF?CF??1 ，则BE?CE的值是 .
【答案】
7 8【解析】因为
114AD?BC36FD?BCBA?CA?（BC?AD）（?BC?AD）=??4，
224411114FD?BCBF?CF?（BC?AD）（?BC?AD）???1，
232342114ED?BC16FD?BC7513（BC?ED）（?BC?ED）???. 因此FD?,BC?，BE?CE?224488222222222222考点：向量数量积
k?k?k?4、（2015江苏卷）设向量ak?(cos,sin?cos)(k?0,1,2,666,12)，则?(akak+1)的值为
k?0112
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五、近三年模拟
题型一 建系在向量数量积中的应用
1、(2019镇江期末） 已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结→→
DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则AF·BC的值为________．
【答案】
1 3→→→
解法1(基底法) 连结AE.因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC.所以AF·BC＝(AE＋1→→→→→→→→→1→1→→→1→→1EF)·BC＝AE·BC＋EF·BC＝EF·BC.由题知EF＝DE＝AC，所以AF·BC＝AC·BC＝×2×2×cos60°＝.
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解法2(向量法) 建立如图所示平面直角坐标系，A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，D?－，?，E(0，
?22?
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1313173?→→→
0)，设点F(x0，y0)由DE＝3EF得DE＝3EF，故?，－?＝3(x0，y0)，故x0＝，y0＝－，所以AF＝?，－，
662?6??2?6173?→→?1
故AF·BC＝，－·(2，0)＝.
36??6
2、(2019通州、海门、启东期末） 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝45°，→→→→
E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足EP＝2PE，则AP·AB＝________．
【答案】 16
→→→
思路分析1：注意到AB，AD，∠BAD已知，因此，以AB，AD作为基底，从而只需将AP以基底的形式表示出来即可．
思路分析2：由于图形的确定性，因此，将问题转化为向量的坐标来进行运算．
→→→→→→→2→1→
解析1(基底法)：因为FP＝2PE，所以AP－AF＝2(AE－AP)，即AP＝AE＋AF，又因为E，F为BC、
33→→1→→1→→→5→2→→→5→22→→
CD的中点，所以AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，故AP＝AB＋AD，因此，AP·AB＝AB＋AB·AD＝
226363522
×16＋×4×2×＝16. 632
→
解析2(坐标法)：以A点为坐标原点，以AB的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则根据题设条91→→
件可得A(0，0)，B(4，0)，D(1，1)，C(5，1)，E(，)，F(3，1)，又因为FP＝2PE，所以设点P(x，y)，从
22x＝2??x－3＝9－2x??91→?2?→→?－x，－y?＝(9－2x，2，，而(x－3，y－1)＝2?1－2y)，故，解得?，故AP＝从而AP·AB22??2?3??y＝?y－1＝1－2y??3＝2×8＝16.
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2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读（江苏版）17 平面向量数量积及应用（解析版）
