摘要：二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法． 关键词：二重积分 三重积分
英文题目 Summary of multiple integral method
Abstract: The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, definition is divided into four steps with the method of structure are given, finally shown as \and\limit. So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties. Definition of the concept of a given accurate description method, and from the definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method. Keyword: The double integral triple integral
1.引言：重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，
易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 2.研究问题及成果 2.1．二重积分的计算 1. 在直角坐标下： (a) X-型区域
几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数
y?y1(x)和y?y2(x)；
被积区域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重积分化为二次积分：
??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．
(b) Y-型区域
几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数x?x1(x)和x?x2(x)；
被积区域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}； 二重积分化为二次积分：
??Df(x,y)dxdy??dx?cdx2(y)x1(y)f(x,y)dx．
2. 在极坐标下：
几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交
点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数； r?r1(?)和r?r2(?)（具体如圆域，扇形域和环域等）
被积区域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式
D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}；
直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：
??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd????DD?21d??r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．
注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．
3. 二重积分的换元法：
z?f(x,y)在闭区域D上连续，设有变换
?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? ?y?y(u,v)将D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且
J??(x,y)?0, (u,v)?D? ?(u,v)则有
??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．
DD?
二． 三重积分的计算
三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理．
1. 在直角坐标下：
空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定
(x,y)的范围，记为Dxy；
被积区域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;
三重积分化为三次积分：
???Vf(x,y,z)dV???dxdy?Dxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz （所谓“二套一”的形
式）
??dx?aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz （Dxy为X－型）
??dy?cdx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz （Dxy为Y－型）
注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：
V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz},
其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：
???f(x,y,z)dV??Vdcdz??f(z)dxdy （所谓“一套二”的形式）
Dz ??cf(z)SDdz
zd其中SD表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．
z2. 在柱坐标下：
柱坐标与直角坐标的关系：
?x?rcos???y?rsin?,(0?r??,0???2?,???z???) ?z?z?空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数z?z1(x,y)和z?z1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r和?表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且
z?z1(x,y)和z?z1(x,y)也易于进一步表示
z成关于r,?较简单的函数形
式，比如x2?y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；
被积区域的集合表示：
V?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?),z1(r,?)?z?z2(r,?)}；
直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：
???f(x,y,z)dV????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dzVV
多重积分方法总结
