函数与绝对值结合压轴练习题和详细的分析解答（1）
问题一：证明不等式 1．已知函数f(x)?ln(1?x)，实数a?(0,1)，证明： x（Ⅰ）f(x)?1?x； 2a时，|f(x)?1|?a． a?1（Ⅱ）当0?|x|?
2．已知函数f?x??e?x，g?x??ax.
x2（1）求证：存在唯一的实数a，使得直线y?g?x?与曲线y?f?x?相切； （2）若a?1,2，x??0,2?，求证：f?x??g?x??e?6.
2??（注：e?2.71828
为自然对数的底数.）
问题二：不等式恒成立
3．设函数f(x)?e2x?kx?1，k?R. （1）讨论f(x)在(0,??)上的单调性；
（2）当k?2时，若存在正实数m，使得对?x?(0,m)，都有|f(x)|?2x，求实数k的取值范围.
4．已知函数f?x??e,g?x??lnx．
x（1）设h?x??g?x??x，求函数h?x?的单调增区间；
2（2）设x0?1，求证：存在唯一的x0，使得函数y?g?x?的图象在点Ax0,g?x0?处的切线l与函数y?f?x?的图象也相切；
??（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式
f(x)?1?1＜a成立． x
问题三：零点
5．已知函数f?x??ln?x?2a??ax?a?0?的最大值为M?a?.
（1）若关于a的方程M?a??m的两个实数根为a1,a2，求证：4a1a2?1；
（2）当a?2时，证明函数g?x??f?x??x在函数f?x?的最小零点x0处取得极小值.
6．已知函数f?x??（1）求a的值；
x（2）设函数g?x??xf?x?，h?x??t?2t(t?1)，若存在x1，x2??,2?，使得
2x?a(a?0)，且满足x?1?f???1. ?2??1???h?x1??g?x2?成立，求实数t的取值范围；
（3）若存在实数m，使得关于x的方程2?x?a??xx?a?2mx2?0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.
2
函数与绝对值结合压轴练习题和详细的分析解答（1）
1．已知函数f(x)?ln(1?x)，实数a?(0,1)，证明： x（Ⅰ）f(x)?1?x； 2a时，|f(x)?1|?a． a?1（Ⅱ）当0?|x|?【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
x2(Ⅰ)构造函数F(x)?ln(1?x)?x?(x??1且x?0)，利用导数求出F(x)的单调性，
2再结合F(0)=0，即可证明不等式成立；
(Ⅱ)在0?x?成立即可. 【详解】
aa?x?0两种情况下，利用(Ⅰ)结论以及导数分别证明不等式和?a?1a?1x2(Ⅰ)构造函数F(x)?ln(1?x)?x?(x??1且x?0)，
21x2F(x)??1?x??0，
1?x1?x?∴F(x)在(?1,0)和(0,??)上单调递增. 又F(0)=0
∴当x?0时，F(x)?F(0)=0，即有
ln(1?x)x?1?； x2ln(1?x)xx2?1?. 当?1?x?0时，F(x)?ln(1?x)?x??0，即有
x22
?f(x)?1?x. 21x?， 1?x1?x(Ⅱ)设h(x)?x?ln(1?x)，则h?(x)?1?所以x?(?1,0)时，h?(x)?0，h(x)在(?1,0)上单调递减；
x?(0,??)时，h?(x)?0，h(x)在(0,??)上单调递增.
所以h(x)min?h(0)?0，故ln(1?x)?x?0. ①当0?x?aln(1?x)x?1??， 时，由(Ⅰ)知0?f(x)?1?x2a?1ln(1?x)?xx?则，
x2?ln(1?x)?xxa|f(x)?1|?a. ???a，?x22(a?1)②当?a1?x?0时，a?1?，
1?xa?111?1?a??(1?a)?0， 1?x1?x令g(x)?ln(1?x)?x?ax，g?(x)??g(x)在???a?,0?上单调递减，?g(x)?g(0)?0，
?a?1??ln(1?x)?x?ax，即
ln(1?x)?1?a， x从而0?ln(1?x)?x?a，即0?f(x)?1?a.
xa时，|f(x)?1|?a. a?1综上所述，当0?|x|?【点睛】
本题主要考查了利用导数证明不等式，结合了导数研究函数的单调性以及最值等相关知识，属于难题.
函数与绝对值结合压轴练习题和详细的分析解答(1)
