2017北师大二附中高二（上）期中数
学（理）
一、选择题（共
8小题；共40分）
1. 正方体的内切球与外接球的体积之比为
A. B.
C.
D.
2. 已知
，则过点
的直线
的斜率是
A.
B. C. D. 3. 已知直线，，平面，给出下列四个命题：
① 若，，则；② 若，，则；③ 若，，则；④若
，
，则
．
其中正确命题的个数是A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
4. 已知向量
，，且与互相垂直，则
的值是
A.
B.
C.
D.
5. 已知
，若，，则直线
的倾斜角的取值范围是
A. B. C.
D.
6. 已知向量
，，
，则与平面
所成角的正弦值为
A.
B.
C.
D.
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
1 / 10
A. 8. 已知圆
（
A.
B. ，直线为坐标原点），则
B.
C. ，点
的取值范围是
C.
在直线
D.
上，若存在圆
上的点
，使得
D.
二、填空题（共
9. 斜率为
6小题；共30分）
，且与两坐标轴围成的三角形的面积为
的直线方程为
．
10. 若圆11. 设
①若②若③若④若
，
与圆
为两个不重合的平面，，，，，
，，，
，与
，则，则
，
，
外切，则的值为．
为两条不重合的直线，给出下列四个命题：；；，则
；与
一定不垂直．
相交且不垂直，则
．
其中，所有真命题的序号是12. 直线
与两直线
和
．
：
和直线
：．
分别交于，两点，若线段的中点为，则直线
的斜率为13. 若直线
则
将圆：分成长度相等的四段弧，
2 / 10
14. 正方体的棱长为，底面的对角线．
在平面内，则正方体在平面内
的射影构成的图形面积的取值范围是
三、解答题（共
6小题；共80分）
15. 如图所示，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．求：
（1）正三棱柱的表面积及体积；（2）三棱锥的体积．16. 已知圆
的圆心在直线
上，且过定点
，
．
（1）求圆的方程；
（2）求斜率为且与圆
相切的直线方程．
17. 如图，直三棱柱
中，
，
．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）证明：
．
18. 在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点3 / 10
是的中点．
（1）求证：（2）求证：平面19. 如图，已知梯形
；
．
中，
，
，，且
，
分别是
，上的点，
，
，
是
的中点，沿
将梯形
翻折，使
（1）当时，求证：；
（2）若以
，，，
为顶点的三棱锥的体积记为，求
的最大值；当
取得最大值时，
求二面角
的大小．
20. 已知圆心为
的圆，满足下列条件：圆心
位于轴正半轴上，与直线相切，且被
轴截得的弦长为，圆
的面积小于
.
（1）求圆的标准方程；
（2）设过点
的直线
与圆
交于不同的两点，
，以
，
为邻边作平行四边形
是否存在这样的直线，使得直线与
恰好平行?如果存在，求出
的方程；若不存在，请说明
理由．
4 / 10
：
，
数学试题答案
第一部分1. C
【解析】设正方体的棱长为
，
．
3. A
4. D
【解析】因为
，
且两向量互相垂直，所以解得5. C 6. A 对圆
7. C 的张角为
8. B
【解析】计算知，直线
使得
与圆相离，过直线
．
上一点
作圆
的两条切线，记该点
．
，
，
，则其内切球与外接球的半径分别为
，
，其内切球体积
其外接球体所以2. B
，则圆上存在点
由此知只需在直线迹．
事实上，张角等于记
上寻找对圆的张角等于的两点，，则线段即是符合题意的点所形成的轨
时，，则
点与圆心及切点构成的四边形为正方形，．
解得或．
第二部分9.
【解析】设直线方程为
或
，令
得
；
5 / 10
2017北师大二附中高二(上)期中数学(理)
