三角恒等变换和解三角形题型总结（有参考答案） - 图文

由天下分享时间：2024/12/19 18:47:23 加入收藏我要投稿点赞

例题5：（08湖北卷16）已知函数f(t)?1?t17?,g(x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(?,). 1?t12（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(?x??)?B（A?0，??0，??[0,2?)）的形式；（Ⅱ）求函数g(x)的值域.

本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）g(x)?cosx?1?sinx1?cosx?sinx? 1?sinx1?cosx(1?sinx)2(1?cosx)2?cosx??sinx? 2cosxsin2x1?sinx1?cosx?cosx??sinx?.

cosxsinx?17???x???,,?cosx??cosx,sinx??sinx,??12?1?sinx1?cosx ?g(x)?cosx??sinx??cosx?sinx

?sinx?cosx?2 ＝2sin?x???????2. 4?（Ⅱ）由?＜x?17?5??5?得＜x??，. 12443?5?3???3?5???sint在?,?上为减函数，在?,?上为增函数，

?42??23?又sin5?5?3??5??17??（当x???,），＜sin,?sin?sin(x?)＜sin?234244???42?，??2?2?2sin(x?)?2＜?3， 24即?1?sin(x?)＜?故g(x)的值域为??2?2,?3.

??3xx2sinx

例6：:证明tan －tan ＝

22cosx＋cos2x

2010级高三数学第11页

3xx3xx

【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝x

2222

?2 －2 ＝x ∴sinx＝sin2 cos2 －cos2 sin2

3xx

又cosx＋cos2x＝2cos cos

22①÷②即得：

3xxsin sin 222sinx3xx ＝－＝tan －tan . 3xx22cosx＋cos2x

cos cos 22

3xx3xx3xx

① ②

【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似. 例题7：.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+(1) (2)

求函数f(x)的最大值和最小正周期.

设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=，f()???2)+sinx. 313c21，且C为锐角，求sinA. 4解: （1）f(x)=cos(2x+

??1?cos2x13??sin2xsin???sin2x )+sin2x.=cos2xcos3322231?3,最小正周期?. 2所以函数f(x)的最大值为（2）f()=

c21331??sinC=－, 所以sinC?, 因为C为锐角, 所以C?, 22243又因为在?ABC 中, cosB=, 所以 sinB?1323, 所以 3211322?32????. 32326sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.

例题8：(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.

（1）求?.的值;

（2）在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?2,f(A)?3,求角C.. 2 2010级高三数学第12页

解: （1）f(x)?2sinx?1?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)

因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为

0????,所以???2.所以f(x)?sin(x?)?cosx

?2（2）因为f(A)?33?,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因为226bsinA12ab?2??,也就是sinB?, ?a22sinAsinBa?1,b?2,所以由正弦定理,得

因为b?a,所以B??4或B?3?. 47?3??3??;当B?时,C?????. 1246412当B??4时,C????6??4?【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

解三角形（2009年11月23日）

2010级高三数学第13页

例题2：2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知a?c?2b，b、c，且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右