得4·
71?cos(A?C)-2cos2B+1=,
2212所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60°.
1例4．化简sin2?·sin2?+cos2?cos2?-cos2?·cos2?.
2解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
1原式=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-·(2cos2?-1)·(2cos2?-1)
21=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-(4cos2?·cos2?-2cos2?-2cos2?+1)
21=sin2?·sin2?-cos2?·cos2?+cos2?+cos2?-
21=sin2?·sin2?+cos2?·sin2?+cos2?-
2111=sin2?+cos2?-=1-=.
222方法二 （从“名”入手，异名化同名）
1原式=sin2?·sin2?+(1-sin2?)·cos2?-cos2?·cos2?
21=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-cos2?·cos2?
21=cos2?-sin2?·cos2?-cos2?·cos2?
2=cos2?-cos2?·?sin2??cos2??
???12?==
1?cos2?-cos2?222·?sin??(1?2sin?)?
??12??1?cos2?11-cos2?=. 222方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
1?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1原式=·+·-cos2?·cos2?
222221111=(1+cos2?·cos2?-cos2?-cos2?)+(1+cos2?·cos2?+cos2?+cos2?)-·cos2?·cos2?=. 4422方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
1原式=(sin?·sin?-cos?·cos?)2+2sin?·sin?·cos?·cos?-cos2?·cos2?
211=cos2(?+?)+sin2?·sin2?-cos2?·cos2?
221=cos2(?+?)-·cos(2?+2?)
211=cos2(?+?)- ·［2cos2(?+?)-1］=.
22???变式训练4：化简：（1）2sin???x?+6cos??x?;
?4??4??? 2010级高三数学 第6页
(2）
2cos2??1.
???2???2tan????sin?????4??4??13????????x???cos??x?? ?4?2?4???解 （1）原式=22?sin???2???=22?sinsin???x??coscos??x??
6?46??4??????????=22cos????x?=22cos(x-?64????). 12（2）原式=
cos2?1?tan?1?tan???????1?cos??2????2???=
cos2?cos2?(1?sin2?)1?sin2?=1.
二倍角的正弦、余弦、正切 （2009年11月21日）
例1. 求值：解：原式＝
sin40?(1?2cos40?)2cos240??cos40??1
sin40??sin80?
cos40??cos80? ＝cos(60??20?)?cos(60??20?)＝3 变式训练1：(cosA．－解：D
例2． 已知α为锐角，且tan??，求解：∵α为锐角
sin2?cos??sin?∴
sin2?cos2?sin(60??20?)?sin(60??20?)?12?sin?12)(cos
??＋sin)＝ （ ） 12121133 B．－ C． D．
222212sin2?cos??sin?的值.
sin2?cos2?sin?(2cos2??1)＝
2sin?cos?cos2?
＝
51＝1?tan2?＝
4cos?变式训练2：化简：
2tan(2cos2??1?4??)?sin(2?4??)
2010级高三数学 第7页
解：原式＝
2sin(cos(cos2???4＝1
?4??)??)??)?cos2(4例3．已知f(x)??3sin2x?sinxcosx； (1) 求f(25??13，求sinα的值． )的值； (2) 设??(0,?),f()??2426251?62cos25?3 ?62解：（1）∵sin∴f(25?25?25?25?)??3cos2?sincos?0 6666331cos2x??sin2x 222（2）f(x)?∴f()?a231313 cos??sin????2224216sin22－4sinα－11＝0 解得sin??∵2?(0,?)?sin??0 故sin???变式训练3：已知sin(解：cos(＝2sin2(
?1?35 81?35 812???)＝，求cos(?2?)的值．
3632??＋2α)＝2cos2(＋α)－1 337?－α) －1＝－
96例4．已知sin2 2α＋sin2α cosα－cos2α＝1，α?(0，解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1 ∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
12?)，求sinα、tanα的值． 2?233
变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列(??[0,2?])，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列 ∴
sin?sinrsin2?sin4?????cos??2cos22?1 sin?sin?sin?sin2?即2cos22?cos??1?0，解得cosα＝1或cos???
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去
2010级高三数学 第8页
12当cos???时，∵2∈[0,2π] ∴2?∴??122?2?或2? 332?4?8?4?8?16?或??,??,r? ,??,r?333333简单的三角恒等变换 （2009年11月22日）
例1： 不查表求值
例2：已知 sin2cos10??sin20?= ． cos20?
（1）求tanx的值； （2）求
xx?2cos?022cos2x2cos(?x)?sinx4?的值．
解析：（1）由sinxxx?2cos?0, ?tan?2， 222x2?2?2??4． ?tanx?31?222x1?tan22tan（2） 原式＝
cos2x?sin2x2(22cosx?sinx)sinx22?(cosx?sinx)(cosx?sinx)
(cosx?sinx)sinx?cosx?sinx31?cotx?1?(?)?1?．
sinx44【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.
例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)
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设向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，且0??????,若a?b?求tan?的值。
【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:
?a?b?cos?cos??sin?sin???cos(???)???????44，tan??，534545又?0??????????????0353?tan(?-?)=-44又?tan?=3?sin(?-?)=-34?tan(???)?tan?743?tan??tan[(???)??]???341?tan(???)tan?24 1?(?)?43?【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换 、例4．(2007·四川 )已知cos???113,cos(???)?,且0
2714(Ⅰ)求tan2?的值.（Ⅱ）求?.
【解题思路】由同角关系求出tan?再求tan2?；又?????????结合角?的范围定角。
21?1??2[解析]（Ⅰ）由cos??,0???，得sin??1?cos??1????43 727?7?∴tan??sin?4372?43???43，于是tan2??2tan??2cos?711?tan?1?43??283
??47（Ⅱ）由0??????2，得0??????2
213?3313又∵cos??????，∴sin??????1?cos2??????1?? ???141414??由?????????得：cos??cos???????????
?11343331?cos?cos??????sin?sin??????????,所以??
71471423【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
2010级高三数学 第10页
三角恒等变换和解三角形题型总结（有参考答案） - 图文
