三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 （2009年11月19日）
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?
令???cos??????cos?cos??sin?sin?????cos2??cos2??sin2? ??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2? ?cos2?＝1?tan?tan?21?cos2? ?sin2?＝22tan? tan2??1?tan2?1?? 如（1）下列各式中，值为的是 A、sin15?cos15? B、cos2?sin2 C、
21212tan22.5?1?cos30? D、 （答：C）；
21?tan222.5?（2）命题P：tan(A?B)?0，命题Q：tanA?tanB?0，则P是Q的
tan??????A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）； （3）已知sin(???)cos??cos(???)sin??（4）
37，那么cos2?的值为____（答：）；52513的值是______（答：4）； ???sin10sin8000(5)已知tan110?a，求tan50的值（用a表示）甲求得的结果是a?3，乙求得的结1?3a1?a2果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）
2a2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，
22222?1?3如（1）已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____（答：）；
544422??1?2（2）已知0???????，且cos(??)??，sin(??)?，求cos(???)的
229233490值（答：）；（3）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，则y与
5729343x的函数关系为______（答：y??1?x2?x(?x?1)）
555(2)三角函数名互化(切化弦)，
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2??(???)?(???)，????2????，
???????????????等），
如（1）求值sin50(1?3tan10)（答：1）；
??sin?cos?21?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值（答：）
1?cos2?38(3)公式变形使用（tan??tan??tan??????1?tan?tan??。 如（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____
（2）已知（答：?2）； 2(2)设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?3，则此4三角形是____三角形（答：等边）
1?cos2?1?cos2?，与升幂公式：sin2??2231?cos2??2cos2?，1?cos2??2sin2?)。如(1)若??(?,?)，化简
2(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos??21111?2??cos2?为_____（答：sin）；cosx（2）函数f(x)?5sinxcosx?53 222225?5??3(x?R)的单调递增区间为___________（答：[k??,k??](k?Z)） 21212(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan?(cos??sin?)
sin??tan?1?sin?2；（3）化简：（答：sin?）；（2）求证：???cot??csc?1?2sin21?tan2212cos4x?2cos2x?2（答：1cos2x）
??22tan(?x)sin2(?x)442222(6)常值变换主要指“1”的变换（1?sinx?cosx?secx?tanx?tanx?cotx
3?tan??sin???等），如已知tan??2，求sin2??sin?cos??3cos2?（答：）.
425(7)正余弦“三兄妹—sinx?cosx、 sinxcosx”的内存联系――“知一求二”，如（1）若
t2?1)，特别提醒：这里t?[?2,2]；（2）sinx?cosx?t，则sinxcosx? __（答：?24?7若??(0,?),sin??cos??1，求tan?的值。（答：?）；（3）已知
23sin2??2sin2????k(???)，试用k表示sin??cos?的值（答：1?k）。
1?tan?42?3、辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?限由a, b的符号确定，?角的值由tan??1?tan?a2?b2sin?x???(其中?角所在的象
b确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方a程sinx?3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数
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y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?3)；（3）如果2f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= (答：－2)；（4）求值：
31??64sin220??________(答：32) 22sin20?cos20?4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若
?,??(0,?)，且tan?、tan?是方程x2?5x?6?0的两根，则求???的值______（答：3?4?）；（3）若0???????2?且sin??sin??sin??0，cos??cos??cos??0，32?求???的值（答：）.
35、. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为?，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方. ①正弦定理的?b?c?2R(R为三角形外接圆的半径).注意：
sinAsinBsinCab一些变式：?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?,sinB?,sinC
2R2Rc；?iii?a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形?2R时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
222b?c?a(3)余弦定理：a?b?c?2bccosA,cosA?等，常选用余弦定理鉴定三角
2bc222）；（2）?ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1，则?C＝_______（答：
(2)正弦定理：a形的形状.
222?ABC中，若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C，判断?ABC的形状（答：直角三角
形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A?B?C??这个特殊性：
(4)面积公式：S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)（其中r为三角形内切圆半径）.如
A?BC?cos；（2）求解三角形中含有边角混合关系22 b，的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）?ABC中，A、B的对边分别是a、?且A=60, a?6, b?4，那么满足条件的?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在?ABC中，A＞B是sinA?sinB成立的_____条件（答：充要）；
1（3）在?ABC中， (1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____（答：；(4)在?ABC?）
2中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则A?B???C,sin(A?B)?sinC,sina2?b2?c2，则?C=____（答：?C＝____（答：60）；（5）在?ABC中，若其面积S?4330?）；（6）在?ABC中，A?60?, b?1，这个三角形的面积为3，则?ABC外接圆的直径
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是_______（答：
239）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，31B?C1922= ，b?c的最大值为 （答：;）；（8）在△a?3,cosA?,则cos23232（答：0?C?ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 ??6ABC的外心，若?C?75，且?AOB,?BOC,?COA的面积满足关系式S?AOB?S?BOC?3S?COA，求?A（答：45?）．
）；（9）设O是锐角三角形
两角和与差的三角函数 （2009年11月20日）
例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·2sin280?的值.
1?解：原式=?2sin50??sin10??????????3sin10?????2sin80?
cos10?????=(2sin50??sin10??cos10??3sin10?)?2sin80?
cos10???13cos10??sin10???2??2cos10? =?2sin50??2sin10??2cos10???????=??2sin50???2sin10?sin40????2cos10?
cos10??=
2sin60??2cos10??22sin60? cos10?3?6. 2=22?变式训练1：(1)已知?∈(
3??,?)，sin?=,则tan(??)等于（ ）
524A.
11 B.7 C.－ D.－7 77 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） 3311A.－ B. C.－ D.
2222解：(1)A (2)B 例2. 已知α?(解：∵α－＋α∈(
?3?,44?4?35?3??3?，)，β?(0，),cos(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 451344443?4＋β＝α＋β＋
13?sinx?1)
?2) β∈(0,?1?∴α－
3???3?∈(0,) β＋∈(,π)
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∴sin(α－
1243??)＝ cos(??)＝－ 51344?2∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)] ＝－cos[(α－
3??56)＋(??)]＝
6544变式训练2：设cos（?－
?1?2ππ）=－，sin（－β）=，且＜?＜π，0＜β＜，
932222求cos（?+β）.
?ππππ?π解：∵＜?＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.
2242422故由cos（?－
??451）=－，得sin（α－）=.
9922由sin（
????5?2??－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（?－）－（－β）］
3322222=cos(???2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?15245?? ??)=??933922?75?75???239?∴cos（?+β）=2cos2－1=2??-1=－. ???729227?27?例3. 若sinA=
510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510510,sinB=， 510解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-1?sinA=-225=-
25， 5cosB=-1?sinB=-2310=-
310， 10∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =???25??310??×???-5×10=2 ① ??5?10?210????5??＜A＜?, ＜B＜?, 22∴?＜A+B＜2? ②
7?由①②知，A+B=.
4又∵
变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2
7A?C-cos2B=,
227A?C-- cos2B=,求角B的度数.
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三角恒等变换和解三角形题型总结(有参考答案)
