2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1 : 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题
目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上?
(1) 当 x
0时，若In (1
2x) , (1 cosx)均是比x高阶的无穷小，则
的取值范围是() (A) (2,
)
(B) (1,2)
(C)
中)
(D)
1
(0,：)
(2) 下列曲线中有渐近线的是
2
(
(A) y x sin x (B)
y x 2
sin x
(C) y x sin
1 2
.1 x
(D)
y x
sin
x
⑶ 设函数f (x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1
x)
f (1)x，⑷在区则
间
[0,1]
上 (
x t2
曲线
t2
上对应于t 1的点处的曲率半径是
4t
(B)远
(A)
10
50
100 (C) 10 .10 (D) 5'、10
⑸设函数f(x)
arctan x，若 f (x)
xf ()，则 lim
x 0 x2
(
(A)
1
(B)2
(C)丄
(
呜
2
⑹ 设函数u(x,y)在有界闭区域 D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数,
且满足
(A)
当 f (x) 0时， f(x) g(x)
(B)〔
当 f (x) 0时， f(x) g(x) 〔
(C)
〔
当 f (x)
0时， f (x) g(x) (D) I 当 f (x) 0时， f (x)
g(x)
1
)
)
)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
(C) u(x, y)的最大值在D的内部取得，最小值在 (D) u(x, y)的最小值在 D的内部取得，最大值在
D的边界上取得 D的边界上取得
行列式
2
(A) (ad be)
(B)
(ad be)
.2 2 2 . 2
2
(C) (8) 设
2 j 2
a d b2c2
3均为
(D) b e a d
1 2
, , 3维向量， 则对任意常数k,l ,向量组 1 k 3, 2
l 3线性无关是向量组
(
1?
2
,
3线性无关的
)
(A) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件
填空题：9 :14小题,每小题
1
(B) 充分非必要条件
(D) 既非充分也非必要条件
4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上?
((9) (10)
f(x)是周期为4的可导奇函数, f (x) 2(x 1), x [0,2]，则 f(7)
2yz
设z z(x, y)是由方程e (11)
z -确定的函数，贝U d
4
,则L在点(r, )
(12) 曲线r r()的极坐标方程是
(3,?)处的切线的直角坐标方程是
x2 2x 1,则该细棒的质
(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间［0,1］上,若其线密度 x 心坐标x ____________ .
(14) 设二次型f x,，X2，x3 N2 x22 2ax1x3 4x2x3的负惯性指数为
1，则a的取值范围为
三、解答题：15?23小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤?
(15) (本题满分10分)
2
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
1
t2 d 1 t dt x2ln 1 1
1 x 2
求极限lim —
x
x
(16)(本题满分10分)
已知函数y y x满足微分方程 值?
(17)(本题满分
10分)
x
2
2
y y 1 y，且 y 2
0，求y x的极大值与极小
设平面区域 D x, y 1
4,x 0, y 0 ,计算
D
xsin x y :.2 2
dxdy.
(18)(本题满分 10分)
2
x
设函数f(u)具有二阶连续导数,
f (e cosy)满足 r
X
z
2
Z
2
(4z e cos y) e ，右
x . 2x
y
f(0) 0, f (0) 0,求 f(u)的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数 f (x), g (x)的区间［a,b］上连续，且f (x)单调增加,
x
g(x) 1.证明:
(I) 0
a
a
b
g(t)dt x a,x
g(t)dt
b
[a,b],
(II)
a f(x)d x a
a
f(x)g(x)dx.
0,1
(20)(本题满分11分)
设函数f(x) —,x
面图形的面积， 极限 lim nSn.
n
，定义函数列 f1(x) f(x), f2(x) f (f1 (x)), L ,
1 x
fn(x) f(fn1(X)),L，记Sn是由曲线目fn(X)，直线X 1及X轴所围成平
求
n
(21)(本题满分11分)
已知函数 f (x, y)满足一^
2(
y 1)，且 f (y, y) (y 1)2 (2 y)ln y,求曲线 f (x, y) 0
y
所围成的图形绕直线 y
1旋转所成的旋转体的体积?
3
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
(22)(本题满分11分) 1 2 设矩阵A 3 1 0 0 1 1 2 4 1 ， E为三阶单位矩阵 3 (I)求方程组 Ax (II)求满足AB (23)(本题满分11分)
0的一个基础解系； E的所有矩阵. 1 1 -
与
― 1
证明n阶矩阵
1 1 L 1 L
0 L 0 L
0 1 0 2丄，
相似
M M M M 1 1 L 1 M M M M 0 L 0 n
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中 ,只有-4
个选项符合题
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸~~指定位置上? (1)当 X 0时，若In (1 2x) , (1 cosx)均是比x高阶的无穷小，则
的取值范围是()
(A) (2,)
(B) (1,2)
1
(C)
(丁)
(D)
(%)
【答案】B 【解析】由定义
In lim - (1 2x)
lim (2x) -lim 2 x 1
0
x 0
x
x 0
x
x 0 所以0，故
1.
2
1
1
x的高阶无穷
当x 0
时，(1
cosx)
~ x_是比 小，
所以
2 10，即
2
故选B
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A) y x sin x (B)
y x sin x
2
(C) y x sin
.1 (D)
y x
sin
2 . 1 x 【答C
x
案】 .1 x sin
sin1
【解析】关C选项：
lim
x
lim1 lim x
10 1.
于
x
x x
x x
lim［x ? 1 ］ sin
］ x1
x
limsin y x sin
1
x
故选C
x
x 0，所以
x 存在斜渐近线y x
⑶设函数f (x)具有2阶导数，
g(x) f(0)(1 x) f (1)x，则在区间［0,1］上
(A)当 f (x) 0时， f(x) g(x)
(B)当 f (x) 0 时，f(x) g(x)
(C)当 f (x)
0时， f (x)
g(x)
(D)当 f (x) 0 时，f (x) g(x)
【答案】D 【解析】令 F(x)
g(x) f(x) f(0)(1 x) f(1)x f(x)，则F(0)
F(1) 0,
F (x)
f (0) f (1) f (x),F (x) f (x). 若 f (x)
0,则 F (x)
0，F(x)在［0,1］上为凸的.
5
1
2.
(
2014年数学二真题+答案解析
