梦想不会辜负每一个努力的人
9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(?3，0)，直径CD⊥x轴于0)、B(1，N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.
(1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.
(2) 求直线DF的解析式.
(3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
[解] (1) ∵抛物线过A、B两点，
∴(?3)?1?y D F m，m=3. ?1M N A C O ∴抛物线为y??x2?2x?3. 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. ∴D点坐标为(?1，4).
(2) 由题意知：AB=4.
∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴
ON=1.
由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C点坐标为(?1，?1).
G E x （第9题图）
设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC、GF是切线， ∴GC=GF. ∴∠3=∠4.
D ∴∠1=∠2.
∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得CP=8. M ∴P点坐标为(7，?1)
设直线DF的解析式为y?kx?b N y F 3 2 O 4 1 x G P E ?k??5???k?b?4?8则? 解得? ?7k?b??1?b?27??8A C 527∴直线DF的解析式为：y??x?
88(3) 假设存在过点G的直线为y?k1x?b1， 则3k1?b1??1，∴b1??3k1?1.
?y?k1x?3k1?12x?(2?k1)x?4?3k1?0 由方程组? 得2y??x?2x?3?.
11
梦想不会辜负每一个努力的人
由题意得?2?k1?4，∴k1??6. 当k1??6时，???40?0， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.
10.（2004山西）已知二次函数y?12，并与x轴交于x?bx?c的图象经过点A（－3，6）
2点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）解：∵二次函数y?x2?bx?c的图象过点A（－3，6），B（－1，0）
?9?3b?c?6?b??1??2?得? 解得?3
1c?????b?c?0?2??2∴这个二次函数的解析式为：y?y 12123x?x? 22O x 由解析式可求P（1，－2），C（3，0）
画出二次函数的图像
（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°
又已知：∠DPC＝∠BAC ∴△DPC∽△BAC
∴
DCPC 易求AC?62,PC?22,BC?4 ?BCAC445?5? ∴OD?3?? ∴D?,0? 333?3?∴DC? 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD、
∴
PEEB. 易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2 ?PFFD225?5? ∴OD??1? ∴D?,0? 333?3?∴FD?（3）存在.
（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG＝MH＝OM
.
12
梦想不会辜负每一个努力的人
又∵MC?2OM且OM＋MC＝OC
∴2OM?OM?3,得OM?32?3 ∴M32?3,0
（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′＋OC＝M′C，OM??OC???2OM?
得OM??32?3 ∴M′?32?3,0 即在x轴上存在满足条件的两个点.
y ??6 5 4 3 2 M′ 1 E B -3 -2 -1 0 -1 -2 T H C F M 1 D 2 3 G P x S 11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.
y [解] （1）y?x2?2x?3，顶点坐标为（1，－4）.
（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3）， 即y＝ax2－2ax－3a，
.
A O B x 13 C M 梦想不会辜负每一个努力的人
∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a）， M（1，－4a）， ∴ S△ACB＝
1×4×?3a＝6a， 2而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、 作MD⊥x轴于D，
又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝
111·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a， 222∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.
（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k， 有菱形可知a?k＝k，a＋k＞0，k＜0， ∴ k＝?a， 2a， ∴ EF?2. 26， 6∴ y＝ax2－2ax＋
记l与x轴交点为D，
若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝
∴ k＝－
66，a＝， 631266x2?6x?. 3366， 2∴ 抛物线的解析式为y?若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝
∴ k＝－
6，a＝6， 26x2?26x?6. 2∴ 抛物线的解析式为y?②当抛物线开口向下时，同理可得
y??126626x2?6x?，y??6x?26x?. 336212.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式表示b；
.
14
2梦想不会辜负每一个努力的人
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA?理由。
4∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明3[解] （1）解法一：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点 ?c?0，16a?4b?0 ?b??4a
解法二：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线x?2
22b?2 2a ?b??4a
?x?? （2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y?ax?4ax ∴点D的坐标为（2，?4a） ①当a?0时，
2 如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点 ∴D'O⊥OD
∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形 ?OD?22
⌒⌒⌒. 15
中考数学压轴题大集合
