梦想不会辜负每一个努力的人
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，
如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
y y
B D B D
x O O x
E′ E
C（1，-3） C（1+k，-3）
A A
（2，-6） （2，-6）
图② 图①
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴
EO?DO?EO?BO? ?,?ABDBCDDBEO?EO???1 ABDCDO?EO?EO?2，∴DO????DB??3?1
DBABAB6又∵DO′+BO′=DB ∴
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上 方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2① 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ② 联立①②得??x?0
?y??2∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）
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?4a?2b?c??6?E（0，-2）三点，得方程组?a?b?c??3
?c??2?解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
E?FE?F??1 得：E′F=2 ABDCE?FDF1方法一：又∵E′F∥AB?，∴DF?DB ?ABDB31112S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=DC?DB?DC?DF?DC?DB
22231=DC?DB=DB=3+k 3同（1）可得：
S=3+k为所求函数解析式
方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′?11BD?E?F??3?k??2?3?k 22∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴S?AE?C?221S梯形ABCD???AB?CD??BD?3?k 992∴S=3+k为所求函数解析式.
2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若
S1h?，抛物线 S24y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM＝2，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝
AM2?OM2?1，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），
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2222BO?AO?1?1?2 AB＝
在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2
AB2?AM2?(2)2?(2)2?4?BM2
∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝22， ∴BC＝
AB2?AC2?(2)2?(22)2?10
y A M · D C ∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC，
BC21025 ∴S1?()???()????222而S2?(AC2222)???()???2?22
B x 5S1hh2???即 ?, ?h?5 S24，2?4
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称
轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5
∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
??a?b?c?0?a＝－5?a?5????由已知得?a?b?c?0 解得?b?0 或 ?b?0
?4ac?b2?c?5?c??5?????5 ??4a∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.
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3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y?ax?bx?c(a?0)过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧AB的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. y ⌒2[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.
在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° AB的长＝
⌒A O B x · P（1，－1） C 120?4? ???2?180?3y （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3. 又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
则C(1，－3).
点A、B、C在抛物线上，则
A M B x · P（1，－1） O C ?0?a(1?3)2?b(1?3)?c?a?1???20?a(1?3)?b(1?3)?c 解之得??b??2 ??3?a?b?c?c??2????抛物线解析式为y?x2?2x?2
（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.
又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线y?x?2x?2上，故存在点D（0，－2）， 使线段OC与PD互相平分.
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
y
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2E C Q F 4
A O1 O O2 B x 梦想不会辜负每一个努力的人
[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC≌△COB.
OB. ∴OC2＝OA·
∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3), ∴(3)2?3OBOB. ∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为y?ax?bx?c.
2y E M 3 1 2 4 C Q ?3,?a??3?9a?3b?c?0,?2??3, 则?a?b?c?0,解之，得?b??3???c?3.?c?3.??∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y??F x A O1 P O O2 B 322x?3x?3. 33(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.
证明：连结O1E、OE、OF.
, ∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°
∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切.
(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
MNCN?. AOCOa3?a∴?. 3333?3解之，得a?.
2∴
此时，四边形OPMN是正方形. ∴MN?OP?∴P(?33?3. 233?3,0). 2考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.
故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且
P(?33?3,0)或P(0,0). 25
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中考数学压轴题大集合
