②如图③，
（i）当点Q从B向A运动时l经过点B， BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90° ∴∠PBC=∠PCB， ∴CP=BP=AP=t
∴CP=AP=AC=×5=2.5，
∴t=2.5；
（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t， 过点P作PG⊥CB于点G， 则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC， ∴∴PG=
，
?AB=（5﹣t），CG=
=
，
?BC=（5﹣t），
∴BG=4﹣
由勾股定理得BP2=BG2+PG2，即解得
．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D． （1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣． ①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣x2+x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得． 【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD， 在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS） ∴DF=BO=1，BF=AO=2， ∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1， ∴b=，
∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1， ∴CD∥x轴， ∴∠BCD=∠ABO
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO， 设P的坐标为（x，﹣x2+x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB=tan∠BAO，即∴
=，
=，解得x1=0（舍去），x2=，
∴﹣x2+x=， ∴P点的坐标为（，）；
（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，
则tan∠POB=tan∠BAO，即p∴
，
，
，
解得x1=0（舍去），x2=∴
x2+x=﹣
，
∴P点的坐标为（，﹣）；
，﹣
），使得∠POB与∠BCD互余．
综上，在抛物线上存在点P（，）或（（2）如图3，图4，
∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得解得
，
，
所以y=ax2﹣4ax+3a+1． 分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个； （ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO， ∴tan∠QOB=tan∠BAO=
=，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为
y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞
（a＜
舍去）
．
综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞
2016年9月26日
2020-2021学年江苏省苏州市中考数学第一次模拟试题及答案解析
