勾股定理复习
例题1、直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周长为( )
22d?S?2dd?S?d (A) (B)22(C)2d?S?2d (D)2d?S?d
解:设两直角边分别为a,b,斜边为c,则c?2d,
S?1ab2. 由勾股定理,得a2?b2?c2.
?a?b? 所以
2?a2?2ab?b2?c2?4S?4d2?4S.
22 所以a?b?2d?S.所以a?b?c?2d?S?2d.故选(C)
例题2.在?ABC中,AB?AC?1,BC边上有2006个不同的点记
mi?APi2?BPi?PC?i?1,2,?2006?iP1,P2,?P2006,
,则
m1?m2??m2006=_____.
解:如图,作AD?BC于D,因为AB?AC?1,则BD?CD.
222222AB?AD?BD,AP?AD?PD由勾股定理,得.所以
AB2?AP2?BD2?PD2??BD?PD??BD?PD??BP?PC222所以AP?BP?PC?AB?1.
因此
m1?m2??m2006?12?2006?2006.
例题3.如图所示,在Rt?ABC中,?BAC?90?,AC?AB,?DAE?45?,且BD?3,
CE?4,求DE的长.
解:如右图:因为?ABC为等腰直角三角形,所以?ABD??C?45?.
所以把?AEC绕点A旋转到?AFB,则?AFB??AEC.
所以BF?EC?4,AF?AE,?ABF??C?45?.连结DF. 所以?DBF为直角三角形.
222222 由勾股定理,得DF?BF?BD?4?3?5.所以DF?5.
因为?DAE?45?,所以?DAF??DAB??EAC?45?. 所以
?ADE??ADF?SAS?. 所以DE?DF?5.
例题4、如图,在△ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PC2PB+PA2的值。
B
P
C
A 例题5、如图在Rt△ABC中,?C?90?,AC?4,BC?3,在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示:
要求:在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)
解:要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。
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例题6.如图,A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,
CD=3km,现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/千米,请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用F。
222例题7.△ABC中,BC?a,AC?b,AB?c,若∠C=90°,如图(1),根据勾股定理,则a?b?c,222若△ABC不是直角三角形,如图(2)和图(3),请你类比勾股定理,试猜想a?b与c的关系,
并证明你的结论.
.
解:若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2 若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2 证明:过点A作AD⊥CB,垂足为D。设CD为x,则有DB=a-x 根据勾股定理得 b2-x2=c2―(a―x) 2 即 b2-x2=c2―a2+2ax―x 2 ∴a2+b2=c2+2ax ∵a>0,x>0 ∴2ax>0 ∴a2+b2>c2 当△ABC是钝角三角形时, 例题8.如图,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处,以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动,距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域. (1)A市是否会受到台风的影响?写出你的结论并给予说明; (2)如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长? 课堂练习: 1、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是( ). A.h≤17cm B.h≥8cm C.15cm≤h≤16cm D.7cm≤h≤16cm 2 如图,已知: , , 于P. 求证: . 思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, 又∵ . 而在. ∴(已知), ∴ . . 中,则根据勾股定理有 在中,根据勾股定理有 , ∴ 3 已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE= ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE= ==。 。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 4 一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H. OD 解:OC=1米 (大门宽度一半), =0.8米 (卡车宽度一半) 在 CDRt△OCD中,由勾股定理得: ===0.6米, H=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米). C 因 此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门. 5、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。 解析:作AB⊥MN,垂足为B。 在 RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°, AP=160, ∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半) ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。 如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m), 由勾股定理得: BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。 同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m), ∴CD=120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s t=120m÷5m/s=24s。 答:拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。 6、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。 思 路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD. 解:连接AD. 因为∠BAC=90°,AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线, 所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
精品-勾股定理综合性难题



