勾股定理复习
例题1、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）
22d?S?2dd?S?d （A） （B）22（C）2d?S?2d （D）2d?S?d
解:设两直角边分别为a,b,斜边为c,则c?2d,
S?1ab2. 由勾股定理,得a2?b2?c2.
?a?b? 所以
2?a2?2ab?b2?c2?4S?4d2?4S.
22 所以a?b?2d?S.所以a?b?c?2d?S?2d.故选（C）
例题2．在?ABC中,AB?AC?1,BC边上有2006个不同的点记
mi?APi2?BPi?PC?i?1,2,?2006?iP1,P2,?P2006,
,则
m1?m2??m2006=_____.
解:如图,作AD?BC于D,因为AB?AC?1,则BD?CD.
222222AB?AD?BD,AP?AD?PD由勾股定理,得.所以
AB2?AP2?BD2?PD2??BD?PD??BD?PD??BP?PC222所以AP?BP?PC?AB?1.
因此
m1?m2??m2006?12?2006?2006.
例题3．如图所示，在Rt?ABC中,?BAC?90?,AC?AB,?DAE?45?,且BD?3,
CE?4,求DE的长.
解:如右图：因为?ABC为等腰直角三角形,所以?ABD??C?45?.
所以把?AEC绕点A旋转到?AFB,则?AFB??AEC.
所以BF?EC?4,AF?AE,?ABF??C?45?.连结DF. 所以?DBF为直角三角形.
222222 由勾股定理,得DF?BF?BD?4?3?5.所以DF?5.
因为?DAE?45?,所以?DAF??DAB??EAC?45?. 所以
?ADE??ADF?SAS?. 所以DE?DF?5.
例题4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC2PB+PA2的值。
B
P
C
A 例题5、如图在Rt△ABC中,?C?90?,AC?4,BC?3，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）
解：要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。
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例题6．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，
CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。
222例题7.△ABC中，BC?a，AC?b，AB?c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a?b?c，222若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a?b与c的关系，
并证明你的结论.
.
解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2 若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2 证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x 根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2 即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2 ∴a2＋b2＝c2＋2ax ∵a>0，x>0 ∴2ax>0 ∴a2+b2>c2 当△ABC是钝角三角形时， 例题8．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 课堂练习： 1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）． A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 2 如图，已知： ， ， 于P. 求证： . 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， 又∵ . 而在. ∴（已知）， ∴ . . 中，则根据勾股定理有 在中，根据勾股定理有 ， ∴ 3 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= ==。 。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 4 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． OD 解：OC＝1米 (大门宽度一半)， ＝0.8米 （卡车宽度一半） 在 CDRt△OCD中，由勾股定理得： ＝＝＝０.６米， Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． C 因 此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门． 5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作AB⊥MN，垂足为B。 在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160， ∴ AB＝ AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 6、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 思 路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD． 因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
精品-勾股定理综合性难题
