2017-2018学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷
一、填空题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm，则该圆的半径为______cm． 2. 方程3sinx-1=0在区间（0，2π）的解为______．
3. 若 = ，则sin2α的值为______．
2
4. 命题“数列的前n项和Sn=3n+n（n∈N*）”成立的充要条件是______（填一组符合题
意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n）
5. 假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值
每年的年增长率均为常数r，则r=______（精确到0.1%）
6. 已知数列{an}的通项公式an= （n∈N*），那么使得其前n项和Sn大于7.999的n的最小值为______．
7. 函数y=cosx（sinx-cosx）（x∈R）的最大值为______．
8. 如图，动点P在以O为圆心，半径为1米的圆周上运动，从
最低点M开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，
t分）ft）设点P的纵坐标y（米）关于时间（的函数为y=（．则
该函数的图象大致为______（请注明关键点）
二、解答题（本大题共4小题，共60.0分）
22
9. （1）设α≠kπ+ （k∈Z），直接用任意角的三角比定义证明：secα-tanα=1．
（2）给出两个公式：①tanα= ，②cos（ ）=sinα． 请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan（ ）= ．
10. 已知余切函数f（x）=cotx．
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明） （2）求证：余切函数f（x）=cotx在区间（0，π）上单调递减．
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11. 设数列{an}的前n项和为Sn，对于n∈N*，（q-1）Sn=qan-a1，其中q是常数．
（1）试讨论：数列{an}在什么条件下为等比数列，请说明理由；
（2）设a1=32，且对任意的n∈N*，bn=log2an有意义，数列{bn}的前n项和为Tn，若T19=19，求Tn的最大值．
12. 如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB=2百米，BC是没有人行
路（不能攀登）的斜坡，CD是斜坡上的一段陡峭的山崖．假设你（看做一点）在斜坡AB上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）．
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出BC的长，并化简；
AC= 百米，（2）设BC=3百米，∠DBA= ，∠BAD=arccos ，求山崖CD的长．（精
确到米）
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答案和解析
1.【答案】
【解析】
=200×解：圆心角200°∵弧长为50=∴r=
（cm），
cm． πr，
=π，
即该圆的半径长故答案为：
．
先将角度化为弧度，再根据弧长公式即可即可．
本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，是基础题． 2.【答案】arcsin 或 【解析】
解：由3sinx-1=0， 得sinx=， ∴x=2kπ+arcsin，
或x=（2k+1）π-arcsin，k∈Z； ∴方程在区间（0，2π）的解为： x=arcsin或x=π-arcsin． 故答案为：arcsin或π-arcsin．
由题意求得sinx=，利用反三角函数求出方程在区间（0，2π）的解即可． 本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题． 3.【答案】
【解析】
解：由∴
=，得
，则sin
， ，
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两边平方得：故答案为：
．
，即sin2α=-．
把已知等式展开二倍角余弦及两角和的余弦，整理后两边平方求解． 本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题． 4.【答案】数列为等差数列且a1=4，d=6，（答案不唯一）
【解析】
解：根据题意，设该数列为{an}，
2
若数列的前n项和Sn=3n+n，则当n=1时，a1=S1=4，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6n-2， 当n=1时，a1=4符合an=6n-2， 故有数列为等差数列且a1=4，d=6，
反之当数列为等差数列且a1=4，d=6时，an=6n-2，Sn=
=3n2+n；
2
故数列的前n项和Sn=3n+n（n∈N*）”成立的充要条件是数列为等差数列且
a1=4，d=6，
故答案为：数列为等差数列且a1=4，d=6．
根据题意，设该数列为{an}，由数列的前n项和公式分析可得数列为等差数列
2
且a1=4，d=6，反之验证可得Sn=3n+n成立，综合即可得答案．
本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】7.2%
【解析】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a，
则有a（1+r%）10=2a，
10
即（1+r%）=2，
解可得：r≈7.2， 故答案为：7.2．
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根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a，结合题意可得a（1+r%）10=2a，解可得r的值，即可得答案．
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r的方程，属于基础题． 6.【答案】13
【解析】
解：列{an}的通项公式an=则：所以：当即：当n=13时，
即：n的最小值为13． 故答案为：13
，
， 时，
（n∈N*），
成立，
直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 7.【答案】
【解析】
解：函数y=cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-=当sin（2x故答案为：
）=1时，y取得最大值为
．
．
sin（2x-）
利用三角函数化简，结合三角函数的有界限可得答案．
本题考查三角函数的有界性，化简能力，考查转化思想以及计算能力．
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2017-2018学年上海市静安区高一(下)期末数学试卷(解析版)
