课时素养评价六 函数的极值与导数
(15分钟 30分)
1.函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是 ( ) A.a>0
B.a≥0
C.a<0
D.a≤0
【解析】选C.因为f′(x)=3ax2+1,所以f′(x)=3ax2+1=0?3a=-错误!未找到引用源。<0,即a<0,反之a<0,f′(x)=3ax2+1=0一定有根.
2.设函数f(x)的定义域为R,x0错误!未找到引用源。是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是
( )
A.?x∈R,f(x)≤f错误!未找到引用源。 B.-x0是f错误!未找到引用源。的极小值点 C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f错误!未找到引用源。的极小值点
【解析】选D.对于A选项,函数的极大值不一定是函数的最大值,所以错;对于B中的f(-x)是将f(x)的图象关于y轴对称,所以-x0是其极大值点,错误;对于C中的-f(x)是将f(x)的图象关于x轴对称,所以x0才是其极小值点,错误;而对于D中的-f(-x)是将f(x)的图象关于原点对称,故-x0是其极小值点,正确.
3.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列说法: ①-3是函数y=f(x)的极值点; ②-1是函数y=f(x)的最小值点; ③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.
则正确说法的序号是________.
【解析】根据导函数图象可知当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,在x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故④正确;则-3是函数y=f(x)的极小值点,故①正确;因为在(-3,1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的最小值点,故②不正确;因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,所以切线的斜率大于零,故③不正确. 答案:①④
4.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________. 【解析】因为x=2是f(x)的极大值点, 又f(x)=x(x2-2cx+c2),
所以f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2. 所以f′(2)=c2-8c+12=0.得c=2或c=6. 当c=2时,不能取极大值,故c=6. 答案:6
5.设函数f(x)=x2-2x-4ln x,求f(x)的极值.
【解析】由已知,f(x)的定义域为错误!未找到引用源。, f′(x)=2x-2-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 令f′(x)=0,得2x2-2x-4=0.
又x>0,所以x=2,当0 当x>2时,f′(x)>0.因此,当x=2时,f(x)有极小值,极小值为f错误!未找到引用源。=-4ln 2,f(x) 无极大值. (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为 ( ) A.1,-3 B.1,3 C.-1,3 D.-1,-3 【解析】选A.f′(x)=3ax2+b, 由题意可知错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 2.如图是定义在错误!未找到引用源。上的函数f(x)的导函数的图象,则函数f(x)的极值点的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选B.设导函数的零点分别为x1,x2,x3,x4.则函数f(x)在(a,x1)上单调递增,(x1,x2)上单调递减,(x2,x3)上单调递增,(x3,x4)上单调递增,(x4,b)上单调递减,故函数f(x)在x1取极大值,在x2取极小值,在x4取极大值. 3.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。等于 ( )
2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课时素养评价含解析新人教A
