2011年GCT 工程硕士考试数学试题及答案
1 比和比例：比例、
aca?，正比例关系、?k，反比例关系等ab?k． bdb2．顺流而下与逆流而上问题
类似必考题目：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时．求此客轮的航速与这条河的水流速度． 解答：因为
352352?11，?16，所以
v?v水v?v水?v?v水?32, 解得 v?27,v水?5． ?v?v?22,水?3 比和比例应用题
类似必考题目：一件工程，甲独做30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了22天．问甲、乙两人各做了多少天？ 解答：设甲、乙两人分别做了x天和
y天．根据题意得
?x?y?22,?解得 x?6,y?16． ?11x?y?1,?20?303、平均值问题
,110,107,100,95，若用它们来估计这批相似必考题目．从生产的一批灯泡中任意抽取5个，测的寿命（小时）分别为113灯泡的平均寿命应为(105) 解答：
113?110?107?100?95?105。
54单位量与总量问题、
类似必考题目：某校有若干女生住校，若每间房住4 人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有－间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ 6）
解答：设女生宿舍的房间数为x，则8(x?1)?4x?20?8x，解得x?6．
5 乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）
aa?axyx?yax,y?ax?y,(ab)x?axbx,(ax)y?axy a?a,a?0?6 绝对值a??0,a?0,a?b?a?b,?a?a?a??a,a?0?
7．几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）
(a?b)2?a2?2ab?b2；
(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；
(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；
a2?b2?(a?b)(a?b)；
1
a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)；
a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)．
8．集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律）
A?B,A?B,A(CI(A)),A?B?C?A?(B?C),A?(B?C)?(A?B)?(A?C),A?B?A?B9 函数的简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）
(x,f(x))(?x,f(?x))?(?x,?f(x));(?x,f(?x))?(?x,f(x)) TTg(x)?f(ax?b)?f(ax?b?T)?f(a(x?)?b)?g(x?)
aa幂函数、指数函数、对数函数（性质、常用公式）
y?xa,y?ax,y?logax,y?lgx,y?lnx
lnxy?lnx?lny,ln10一元二次方程
（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系
logbxx ?lnx?lny,lnxy?ylnx,logax?ylogba?b?b2?4acbcax?bx?c?0，??b?4ac；x??,x1?x2??,x1x2?
2aaa2211．二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标）、
b24ac?b2y?ax?bx?c?a(x?)?2a4a2
12 不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） 性质：a?b,k?0?ka?kb;a?b,k?0?ka?kb;
a?b,c?d?a?c?b?d,a?d?b?c
基本不等式：
1(a?b)?ab，a?b?a?b 213 数列a1,a2,?,an,?，Sn?a1?a2???an?k?1?ak
1n(n?1)d,2n{an},an?1?an?d,an?a1?(n?1)d,Sn?na1?14数列性质
an?k?an?k15等比数列性质
a?a2????an1?2an,1?(a1?an)n2
an?11?qnn?12 {an},an?0,?q,an?a1q,Sn?a1,an?kan?k?anan1?q16排列公式Pn
m?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
2
注 阶乘（全排列）Pm17组合与组合数
（1）定义；（2）公式；Pnm?m!
mmmm?CnPm,Cn?PnmmPm
mn?mmmm?1（3）基本性质：Cn?Cn,Cn?C?Cnn,?1nk?0k?Cnn?2n
（4）二项式定理：(a?b)18概率问题
n?k?0kkn?k ab?Cn0?P(A)?1，P(?)?0，P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)
（1）等可能事件（古典概型）P(A)（2）互不相容事件 P(A?B)?（3）相互独立事件 P(A?B)?（4）独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为
?m nP(A)?P(B)；对立事件 P(A)?P(B)?1 P(A)P(B)
p，那么在
n此独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为
kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k．
19必考下列类似题目 （1）如果(x?1)整除x解答：
3?a2x2?ax?1，则实数a?（2或?1）
(x?1)能够整除x3?a2x2?ax?1说明(x?1)是x3?a2x2?ax?1的一个因子，因此当x??1时，
x3?a2x2?ax?1的值应为0，即 ?1?a2?a?1?0，
解得 a?2或a??1．
?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图像关于原点对称的充分必要条件是（b?d?0）
（2）已知a解答：函数即b故其偶次项的系数为0，f(x)?ax3?bx2?cx?d的图像关于原点对称的充分必要条件是函数f(x)为奇函数，
?d?0．
也可利用?
?f(0)?0,求得b?d?0，再说明当b?d?0时，y?f(x)的图像关于原点对称.
?f(?1)??f(1)20 代数方程和简单的超越方程
3
（1）设cxx22?0，若x1,x2是方程x2?bx?c?0的两个根，求x1?x2,x1?x2，2?1x1x2?x2??b,x1x2?c，所以
3，x13． ?x2分析：根据韦达定理可知 x122x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?b2?2c；
22x1?x2?(x1?x2)2?x1?x2?2x1x2?b2?4c；
22x2x1x2?x1b2?2c． ???x1x2x1x2c3322 x1?x2?(x1?x2)(x1?x1x2?x2)21不等式的运用 已知集合
A?{xx?2?3}，集合B?{xx2?(1?a)x?a?0}，若B?A，求a得取值范围．
a?1?(1?a)2?4aa?1?1?a分析：x1,2??22当a．
??1时，B?{xa?x??1}；当a??1时，B?{x?1?x?a}．
??1时，不会有B?A；当a??1时，若B?A，则a?5．
所以当a22 数列的运用
设{an}是一等差数列，且a2分析：由于a6?a3?a10?a11?64，求a6?a7和S12．
?a7?a3?a10?a2?a11，所以
a6?a7?a2?a3?a10?a11?32；
2S12?a1?a2???a11?a12?6(a6?a7)?192．
23排列必考题
100件产品中，只有3件次品，从中任取3件， （1）恰有一件次品的取法有多少种？C3C97 （2）至少有一件次品的取法有多少种？ C1001233?C97
3（3）至多有两件次品的取法有多少种？C100?C3
24甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是0.6和0.5． （1）两人都投中的概率是多少？0.6?0.5
（2）恰有一人投中的概率是多少？0.6?0.5?0.4?0.5 （3）至少有一人投中的概率是多少？1?0.4?0.5 25函数运算
4
3
（1）设函数
f(x)?x1，x?0,x?1，则f()?（1?x） x?1f(x)解答：
1x?11f(x)xf()???1?x，x?0,x?1．
1x?1f(x)?1?1f(x)xx?3，则函数y?(x?2)2?2的最大值为（2）
y（2）设0?1-0.50.511.522.5-1解答：
-2 如图：最大值只可能在端点取到． 2011年GCT 工程硕士考试数学试题及答案
1 比和比例：比例、
aca?，正比例关系、?k，反比例关系等ab?k． bdb2．顺流而下与逆流而上问题
类似必考题目：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时．求此客轮的航速与这条河的水流速度． 解答：因为
352352?11，?16，所以
v?v水v?v水?v?v水?32, 解得 v?27,v水?5． ?v?v?22,水?3 比和比例应用题
类似必考题目：一件工程，甲独做30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了22天．问甲、乙两人各做了多少天？ 解答：设甲、乙两人分别做了x天和
y天．根据题意得
?x?y?22,?解得 x?6,y?16． ?11x?y?1,?20?303、平均值问题
,110,107,100,95，若用它们来估计这批相似必考题目．从生产的一批灯泡中任意抽取5个，测的寿命（小时）分别为113灯泡的平均寿命应为(105)
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