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2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
一、选择题
1.双曲线方程为x2-2y2=2,则它的左焦点坐标为( )
A.(-√22
,0) B.(-
√52
,0)
C.(-
√62
,0) D.(-√3,0)
解析:双曲线标准方程为2-y2=1,则c2=2+1=3.
故它的左焦点坐标为(-√3,0). 答案:D
2.椭圆34+??2=1和双曲线??2?16=1有相同的焦点,则实数n的值是( )
A.±5
??2
??2
??2
??2
??2
B.±3 C.5 D.9
解析:由题意知34-n2=n2+16,即2n2=18,n2=9,
故n=±3. 答案:B
3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的周长为( )
A.2+3√2 B.4+3√2 D.2+6√2
2
2
C.4+6√2 解析:∵方程x-y=2化为标准方程得2?2=1,
∴由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2√2.
??2??2
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又∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4√2,|PF2|=2√2. 又|F1F2|=2c=4,∴△PF1F2的周长为4+6√2. 答案:C
35
??2
4.已知θ为三角形的内角,且sin2θ=-,则方程
A.焦点在
sin??
+
??2
cos??
=1所表示的曲线为( )
x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线
解析:∵sin2θ=2sinθ·cosθ=-5<0,0<θ<π,
∴sinθ>0,cosθ<0.
∴方程sin??+cos??=1表示焦点在x轴上的双曲线. 答案:C
???????? 5.已知双曲线的两个焦点为F1(-√10,0),F2(√10,0),M是此双曲线上的一点,且满足????1·
???????? ???????? ????2=0,|????|???????? ????2|=12,则该双曲线的方程是( ) 1|·
A.
??29
??2
??2
3
-y2=1 B.x2-=1
9
??2
C.4?6=1
??2??2
D.6?4=1
??2??2
???????? ???????? 解析:根据???????? ????1·???????? ????2=0得????1⊥????2,
|???????? ????1|·|???????? ????2|=12,
因此{ 22???????? ???????? |????|+|????|=40,12???????? |???????? ????1|=2,|????1|=6,解得{或{
???????? ???????? |????2|=6|????2|=2,???????? 因此||???????? ????1|-|????2||=4,
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则该双曲线的方程是4?6=1. 答案:C 二、非选择题
6.双曲线?=1的一个焦点为(0,2),则k的值为 .
??
3????2
??2
??2??2
解析:由已知焦点在y轴上,则k<0.
又-(3k+k)=4,故k=-1. 答案:-1
7.已知双曲线的焦点在y轴上,且a+c=9,b=3,则它的标准方程为 . 解析:∵双曲线焦点在y轴上,
∴可设其方程为??2???2=1. ∵a+c=9,∴c=9-a.
∴c2=(9-a)2=b2+a2=9+a2,解得a=4. ∴a2=16.∴双曲线的方程为16?9=1.
??2
??2
??2
??2
??2
??2
答案:16?9=1
8.若点P到点(0,-3)与到点(0,3)的距离之差为2,则点P的轨迹方程为 . 解析:由题意并结合双曲线的定义,可知点P的轨迹方程为双曲线的上支,且c=3,2a=2,则a=1,b2=9-1=8,所以点P的轨迹方程为y2-8=1(y≥1).
??2
??2
答案:y2-8=1(y≥1)
??2
??2
9.设双曲线与椭圆27+36=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.
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解:由椭圆方程27+36=1,得椭圆的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3).
因为椭圆与双曲线在第一象限的交点A的纵坐标为4,所以这个交点为A(√15,4). 解法一:设双曲线方程为2?2=1(a>0,b>0),
??
????2
??2
??2??2
由题意得{??
??2=4,解得{2
222??=5.??+??=3,-2
??242(√15)2
=1,
故所求双曲线方程为4?5=1.
解法二:∵2a=||AF1|-|AF2||=|√15+49?√15+1|=4,∴a=2. 又c=3,∴b2=c2-a2=5. ∵双曲线的焦点在y轴上, ∴双曲线的方程为?=1.
4
5??2
??2
??2??2
10.双曲线?=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.
9
16
??2??2
解:设P点为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),
????? ??????? 则??????1=(-5-x0,-y0),????2=(5-x0,-y0). ????? ??????? ∵PF1⊥PF2,∴??????1·????2=0,
即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,
22
整理,得??0+??0=25.①
又∵P(x0,y0)在双曲线上, ∴
??209
?16=1.②
25625
165
??20
2联立①②,得??0=
,即|y0|=.
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因此点P到x轴的距离为5.
16
三、备选习题
1.椭圆+=1与双曲线-x2=1有公共点P,则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面
25
9
15
??2
??2
??2
积为( )
A.4
B.5√5 C.5 D.3
解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0,-4),又由椭圆与双曲线的定义可得
{
|????1|+|P??2|=10,
||????1|-|P??2||=2√15,
所以|PF1|=5+√15,|PF2|=5-√15,或|PF1|=5-√15,|PF2|=5+√15. 在△PF1F2中,由余弦定理得 cos∠F1PF2=
|????1|2+|P??2|2-|??1??2|2
2|????1|·|P??2|
=(5+√15)2+(5-√15)2-822×(5+√15)(5-√15)=5, 4
于是sin∠F1PF2=.
5
3
因此△PF1F2的面积 S=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
21
=2×(5+√15)×(5-√15)×5=3. 答案:D
2.已知双曲线的焦点在坐标轴上,且一个焦点在直线5x-2y+20=0上,两焦点关于原点对称,且=3,则双曲线的方程为 . ??
解析:易得直线5x-2y+20=0与两坐标轴交点为(-4,0)和(0,10).
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??
5
13
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若(-4,0)为焦点,则c=4,而??=3,
12
144
25625
??5
故a=5,b2=16-25=
.
故双曲线的方程为
25??2144
?
25??2256
=1.
若(0,10)为焦点,则c=10, 故a=6,b2=100-36=64. 故双曲线的方程为36?64=1.
25??2
25??2256
??2
??2
??2
??2
答案:144?=1或36?64=1
3.如图,某农场在M处有一堆肥料,现要把这堆肥料沿道路MA或MB送到四边形田地ABCD中去,已知MA=60m,MB=80m,BC=30m,∠AMB=90°,能否在田地ABCD中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近,另一侧的点沿MB送肥料较近?若能,请指出界线是何曲线,并建立坐标系求出其方程.
解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.
由|MA|=60,|MB|=80,∠AMB=90°, 得|AB|=100.
设点P(x,y)是界线上的点. 由题意,得|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,
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即|PA|-|PB|=|MB|-|MA|=20<|AB|.
所以由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为20的双曲线的右支上.
??2
对应方程为
100
?
??2
2400
=1(x≥10,0≤y≤30).
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人教A版高中数学高二选修2-1双曲线及其标准方程
