§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、教材分析
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.
二、教学目标
1．知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.
3．情感、态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直. 教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?
思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？
②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？
④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？ ⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？
活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②数形结合容易得出结论. ③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在. ④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.
图1
充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2, ∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.
⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件. 讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立. ③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.
④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立. ⑤l1∥l2?k1=k2. ⑥l1⊥l2?k1k2=-1.
（三）应用示例
例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系，并证明你的结论.
解:直线BA的斜率kBA=
3?0=0.5,
2?(?4)直线PQ的斜率kPQ=
2?1=0.5,
?1?(?3)因为kBA=kPQ.所以直线BA∥PQ. 变式训练
若A(-2,3),B(3,-2),C(
1,m)三点共线，则m的值为( ) 211A. B.- C.-2 D.2 221?2?3m?2分析：kAB=kBC,,m=. ?123?2?32答案：A
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：AB边所在直线的斜率kAB=-CD边所在直线的斜率kCD=-
1, 21, 2
3, 23DA边所在直线的斜率kDA=.
2BC边所在直线的斜率kBC=
因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 变式训练
直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2.
（1）a=_____________时，α1=150°； （2）a=_____________时，l2⊥x轴； （3）a=_____________时，l1∥l2；
（4）a=_____________时，l1、l2重合； （5）a=_____________时，l1⊥l2.
答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5
（四）知能训练
习题3.1 A组6、7.
（五）拓展提升
问题：已知P（－3，2），Q（3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a的取值范围.（图2）
图2
解：直线l：ax+y+3=0是过定点A（0，-3）的直线系，斜率为参变数-a，易知PQ、AQ、AP、l的斜率分别为：kPQ=
175，kAQ=，kAP=?，k1=-a. 33371＜a＜-；
3375若l与PQ相交，则k1＞kAQ或k1＜kAP，解得a＜-或a＞；
3315若l与QP的延长线相交，则kPQ＞k1＞kAP，解得-＜a＜.
33若l与PQ延长线相交，由图,可知kPQ＜k1＜kAQ，解得-
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行. 2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.
3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.
4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.
（七）作业
习题3.1 A组4、5.
高中数学 必修二 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
