直线与双曲线的位置关系
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；
3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】
双曲线
双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何
性质 直线与双曲线的位
置关系 双曲线的综合
问题
双曲线离心率及渐近线问题
双曲线的弦问题
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义
在平面内，到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a（a大于0且2a?F的动点P的1F2）轨迹叫作双曲线.这两个定点F1、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上的双曲线的标准方程 x2y2 a2?b2?1(a?0,b?0)
说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2
焦点在y轴上的双曲线的标准方程 y2
说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2
x2?2?1(a?0,b?0)2 ab要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、双曲线的几何性质
标准方程 x2y2?2?1(a?0,b?0) 2aby2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab图形 焦点 焦距 范围 对称性质 性 顶点 轴 离心率 渐近线方程
要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系
F1(?c,0)，F2(c,0) |F1F2|?2c(c?a2?b2) F1(0,?c)，F2(0,c) |F1F2|?2c(c?a2?b2) {xx??a或x?a}，y?R {yy??a或y?a}，x?R 关于x轴、y轴和原点对称 (?a,0) 实轴长=2a，虚轴长=2b (0,?a) e?bx ac(e?1) ay??axb y??x2y2将直线的方程y?kx?m与双曲线的方程2?2?1(a?0,b?0)联立成方程组，消元转化为关于x
ab或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
(b2?a2k2)x2?2a2mkx?a2m2?a2b2?0
b，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； ab若b2?a2k2?0,即k??，
a若b2?a2k2?0,即k??①Δ＞0?直线和双曲线相交?直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0?直线和双曲线相切?直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0?直线和双曲线相离?直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦
x2y2设直线y?kx?m交双曲线2?2?1(a?0,b?0)于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),两点，则
ab22 |PP12|?(x1?x2)?(y1?y2)=(x1?x2)2[1?(y1?y222)]=1?k|x1?x2| x1?x21|y1?y2|(k?0) k2同理可得|PP12|?1?这里|x1?x2|,|y1?y2|,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2 |y1?y2|?(y1?y2)2?4y1y2 双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
x2y2b2x0在双曲线2?2?1(a?0,b?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k??2；
abay0涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题
对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解
双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质
（3） 转化为函数求最值 【典型例题】
类型一：双曲线的方程与性质
x2y2例1.设F1、F2是双曲线2?2?11(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若PF1?PF2?0，且
abPF1?PF2?2ac，其中c?a2?b2，求双曲线的离心率．
【解析】由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2a， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2， 又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2， 又PF1?PF2?2ac，∴2ac＝2b2， ∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝
1?5， 2即双曲线的离心率为1?5. 2【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。 举一反三：
【变式1】求下列双曲线的标准方程．
x2y2??1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线； (1)与椭圆
1625x2y2??1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线． (2)与双曲线
164x2y2??1的焦点为(0，±【答案】(1)∵椭圆3)， 1625y2x2?1， ∴所求双曲线方程设为：2?2a9?a又点(－2，10)在双曲线上， ∴
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??1，解得a＝5或a＝18(舍去)． 22a9?ay2y2??1. ∴所求双曲线方程为54x2y2??1的焦点为(±(2)∵双曲线25，0)， 164x2y2?1， ∴设所求双曲线方程为：2?2a20?a又点(32，2)在双曲线上，
∴
184??1，解得a2＝12或30(舍去)， 22a20?ax2y2??1. ∴所求双曲线方程为
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【变式2】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率为( ) A．5 C.
B. 5
D.
125 25 4【答案】C
类型二：直线与双曲线的位置关系
例2．已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数. 【思路点拨】
直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.
【解析】联立方程组??y?k(x?1)22?x?y?4消去y，并依x聚项整理得：
(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ① (1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=
5，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公2共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)， 则k∈???23?????(?1,1)??1,23?，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点. ,?1???3?3????23，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况). 3(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±(4)若4－3k2<0且k2≠1则k∈???,??????23????23,???，方程组无解，故直线与双曲线无交点. ??4???3?综上所述，当k=±1或k=±当k∈??23时，直线与双曲线有一个公共点； 3?23?????(?1,1)??1,23?时，直线与双曲线有两个公共点； ,?1???3?3??????23????23,???时，直线与双曲线无公共点.
??3???3?当k∈???,????【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，
B 知识讲解 直线与双曲线的位置关系（理）
