历年全国高中数学联赛《集合函数》专题真题汇编

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x1、设全集是实数，若A={x|x?2≤0}，B={x|102?2x=10},则A?B是 （ D ）

(A) {2} (B) {?1} (C) {x|x≤2} (D) ? 2、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定

【答案】C

【解析】M表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．

5、已知两个实数集合A={a1, a2, … , a100}与B={b1, b2, … , b50}，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有( ) (A)

50C100 (B)

50C90 (C)

49C100 (D)

49C99

【答案】D

【解析】不妨设b1

49C99，则这样的映射共有

49C99，故选D。

f(x)?x3?log2x?x2?1??，则对任意实数a,b，a?b?0是f(a)?f(b)?0的（ ）

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】显然

f(x)?x3?log2x?x2?1??为奇函数，且单调递增。于是若a?b?0，

则a??b，有f(a)?f(?b)，即f(a)??f(b)，从而有f(a)?f(b)?0.反之，若

f(a)?f(b)?0，则f(a)??f(b)?f(?b),推出 a??b，即 a?b?0。

8、已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ ）

A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

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5?4x?x2f(x)?2?x在(??,2)上的最小值是 （ ）9、函数。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【答案】C

1?(4?4x?x2)1f(x)???(2?x)2?x2?x【解析】当x?2时，2?x?0，因此?2?1?(2?x)2?x 1?2?x2?x?2，当且仅当时取等号．而此方程有解x?1?(??,2)，因此f(x)在(??,2)上的最小值为2．故选C.

B?{xx2?ax?4?0}A?[?2,4)10、设，，若B?A，则实数a的取值范围为（ D ）。

（A）[?1,2) （B）[?1,2] （C）[0,3] （D）[0,3) 11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋

3[1,)U[2,??)【答案】2

的值域为______________．

【解析】先平方去掉根号．由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于∪［2，＋∞）．

13、若log4(x?2y)?log4(x?2y)?1，则|x|【答案】3

14、已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}， B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}

若A?B，则实数a的取值范围是 ． 【答案】－4≤a≤－1

2

1x+5

【解析】A=(1，3)；又，a≤－21－x∈(－1，－)，当x∈(1，3)时，a≥ －

42x能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）

|y|的最小值是 。

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7∈(5－7，－4)． ∴ －4≤a≤－1．

22f(2a?a?1)?f(3a?4a?1)成f(x)(0,??)17、已知是定义在上的减函数，若

立，则a的取值范围是

10?a?或1?a?5.3【答案】

【解析】?f(x)在(0,??)上定义，又

172a2?a?1?2(a?)2??0;3a2?4a?1?(3a?1)48

?(a?1),仅当a?1或

a?123时，3a?4a?1?0.(?)

?f(x)在(0,??)上是减函数，

?2a2?a?1?3a2?4a?1,?a2?5a?0,?0?a?5,结合（＊）知

0?a?13或

1?a?5.

19、设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?2008 ，且对任意x?R，满足

xxf(x?2)?f(x)?3?2 ，f(x?6)?f(x)?63?2，则f(2008)= . xg(x)?f(x)?2令，则

g(x?2)?g(x)?f(x?2)?f(x)?2x?2?2x?3?2x?3?2x?0， g(x?6)?g(x)?f(x?6)?f(x)?2x?6?2x?63?2x?63?2x?0，

即g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)，故g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)，得g(x)是

200820082008周期为2的周期函数，所以f(2008)?g(2008)?2?g(0)?2?2?2007．

20、若函数

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f?x??x1?x2且?f(n)?x??f?f?fLf?x?????144424443?n，则

f?99??1?? 1/10 ．

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21、若方程

lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是 k<0或

k=4 ．

22、函数f(x)?x?5?24?3x的值域是 . 【答案】[?3,3]

【解析】易知f(x)的定义域是?5,8?，且f(x)在?5,8?上是增函数，从而可知f(x)的值域为[?3,3].

2xxf(x)?a?3a?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8，则它23、函数

在这个区间上的最小值是 .

1【答案】4

?

24、设集合A?{a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

B?{?1,3,5,8}，则集合A? ．

【答案】{?3,0,2,6}.

【解析】显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以

3(a1?a2?a3?a4)?(?1)?3?5?8?15，

故a1?a2?a3?a4?5，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合A?{?3,0,2,6}．

x2?1f(x)?x?1的值域为 （1，+） ． 25、函数

?f(x)?xf(x)x?0R26、设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的

x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 ．

【答案】[2,??).

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2??x(x?0)f(x)??2???x(x?0),则2f(x)?f(2x).因此,原不等式等价于【解析】由题设知

f(x?a)?f(2x).

因为f(x)在R上是增函数,所以x?a?2x,即a?(2?1)x.又x?[a,a?2],所以当x?a?2时,

(2?1)x取得最大值(2?1)(a?2).因此,a?(2?1)(a?2),解得a?2.故a的

取值范围是[2,??).

113f(x)??x2?22在区间[a,b]上的最小值为2a，27、若函数最大值为2b，求[a,b].

28、设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件： ① 当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；

x?12)② 当x∈(0,2)时，f(x)≤2

(③ f(x)在R上的最小值为0。

求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x 【解析】∵f(x-4)=f(2-x)

∴函数的图象关于x= -1对称

b??1 ∴ 2a b=2a

?由③知当x= 1时,y=0，即ab+c=0 由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1

∴f(1)=1，即工+了+以=1，又ab+c=0

111∴a=4 b=2 c=4

1211x?x?24 ∴f(x)=4假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x

111取x=1时，有f(t+1)≤1?4(t+1)2+2(t+1)+4≤1?4≤t≤0

对固定的t∈[-4,0]，取x=m，有f(t m)≤m

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