（2）请说明作图理由．
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图； （2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等； （2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系． 请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 小王的速度为：30÷3＝10km/h，
小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h， 答：小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：30×20＝1.5h， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km， ∴点C的坐标为（1.5，15），
设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得
，
即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得tanC＝tan∠ODB＝
＝，设HF＝3x，DF＝
4x，根据勾股定理得到DF＝，HF＝，根据相似三角形的性质得到CF＝＝，求得AF＝CF＝，
设OA＝OD＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵D是∴OE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E+∠AOE＝90°，
的中点，
∴∠EAO＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）∵∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴tanC＝tan∠ODB＝
＝，
∴设HF＝3x，DF＝4x， ∴DH＝5x＝9， ∴x＝， ∴DF＝
，HF＝
，
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD， ∴△DFH∽△CFD， ∴
＝
，
∴CF＝＝，
∴AF＝CF＝，
设OA＝OD＝x， ∴OF＝x﹣
，
∵AF2+OF2＝OA2， ∴（
）2+（x﹣
）2＝x2，
解得：x＝10， ∴OA＝10，
∴直径AB的长为20．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解
题的关键．
21．（8分）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数； （2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数． 证明：设0＜x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）＝∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0． ∴
＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
﹣
＝
＝
．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）═（x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）＝f（﹣1）＝
+x（x＜0），
+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝
，f（﹣4）＝ ﹣
+（﹣2）＝﹣ ；
（1）计算：f（﹣3）＝ ﹣（2）猜想：函数f（x）＝
+x（x＜0）是 增 函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题； （2）由（1）结论可得；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立． 【解答】解：（1）∵f（x）＝∴f（﹣3）＝故答案为：﹣
﹣3＝﹣，﹣
+x（x＜0）， ，f（﹣4）＝
﹣4＝﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3） ∴函数f（x）＝故答案为：增
+x（x＜0）是增函数
（3）设x1＜x2＜0， ∵f（x1）﹣f（x2）＝∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 ∴f（x1）＜f（x2） ∴函数f（x）＝
+x（x＜0）是增函数
+x1﹣
﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣
）
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
22．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G． （1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y． ①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）①证明△ADM∽△GMN，可得
＝
，由此即可解决问题．
②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
2019年山东省济宁市中考数学试题（含解析）
