《用待定系数法求二次函数的解析式》教学设计
课题名称：用待定系数法求二次函数的解析式 科目： 数学 年级： 九年级 教学时间：1课时（40分钟）
教材位置：人教版九年级上册第二十二章《二次函数》
学生分析：学生已经学过了用待定系数法求解一次函数解析式，并且对待定系数法的步骤比较了解.
教法分析：针对学生特点，创设问题情境，由学生观察，发现，老师启发引导，学生探索相结合以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下共同探索用待定系数法求二次函数解析式. 一、教学目标
1．知识与能力: 会用待定系数法求二次函数的解析式，根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.
2．过程与方法：使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力.
3．情感态度与价值观: 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活. 重点： 运用待定系数法求二次函数解析式 难点： 根据条件恰当设二次函数解析式形式
教学准备：教师自制多媒体课件，编制导学案 二、教学过程：
（一）自主预习
1、已知一个正比例函数通过点（2，-4），求这个正比例函数解析式？ 2、已知一次函数经过点（1，3）和（-1，1），求一次函数解析式？
3、用待定系数法求函数解析式的基本步骤是什么？
1设 设出函数解析式 ○
2代 将自变量和对应的函数值代入函数解析式，○得到对应的方程（或方程组） 3解 解方程 （组） ○
4还原 将得到未知数的值还原到函数解析式中 ○
4、二次函数解析式有哪几种表达式？以及各个系数代表的含义？
一般式：y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c 为常数，a为二次项系数，b为一次项系数，c
为常数项，也是与y轴交点的纵坐标)
顶点式：y=a(x-h)2+k （a≠0 ，a, h, k 为常数，（h, k）为顶点坐标）
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0 ，a, x1, x2 为常数，x1, x2是抛物线与x轴交点的横
坐标）
（二）合作探究
例1、已知一个二次函数的图像过点（－1,6）、（1,4）、（2,9）三点，求这个函数的解析式？
分析：因为所求的二次函数的图像经过三个已知点，可设函数关系式为y=ax2+bx+c 的形式
解：设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c 将点（－1,6）、（1,4）、（2,9）代入y=ax2+bx+c 得 a-b+c=6 a=2 a+b+c=4 解方程组得：b=-1 4a+2b+c=9 c=3 因此：所求的二次函数是：y=2x2-x+3
例2、已知抛物线的顶点为（1，2），与y轴交点为（0，－2）求抛物线的解析式？
分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x-1)2+2,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；
解：设所求的二次函数为：y=a(x-1)2+2 将点（0，-5）代入抛物线解析式y=a(x-1)2+2 得：a+2=-2
解得:a=-4
故所求的抛物线解析式为 y=－4(x-1)2+2 即：y=－4x2+8x－2
例3、已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
分析：根据抛物线与x轴的两个交点坐标，可设函数关系式为y=a(x＋1)(x－1） 再根据抛物线与y轴的交点可求出a 的值；
解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1） 将点M( 0,1 ) 代入 解析式y=a(x＋1)(x－1）中 得：a(0+1)(0-1)=1 解得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
（三）练习巩固
练习1、有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式． 分析：由题意和抛物线的轴对称性可知，抛物线经过三个点，顶点（20,16），与x轴的交点（0,0）点和（40,0），所以抛物线的解析式可以设为一般式，也可以设为顶点式和两根式.
(将学生分组分别以不同的方法求解二次函数解析式，并请同学在白板展示解题过程)
解法一：设抛物线的解析式为 y=ax2＋bx＋c，
由题意可知：抛物线经过(0，0)，(20，16) 和(40，0)三点 可得方程组 c=0
400a+20b+c=16 1600a+40b+c=0 解得：a??18,b?,c?0 255128x?x 255∴抛物线的解析式为：y??评价：通过利用给定的条件列出a, b, c的三元一次方程组，求a，b，c的值，从而确定函数解析式，过程较繁琐
解法二：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知
∵ 点(0，0)在抛物线上， ∴0=400a+16 解得a??1 25y??1(x?20)2?1625
∴所求抛物线的解析式为
评价：通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活 解法三：设抛物线的解析式为y=ax（x-40）
根据题意可知
∵点（20,16）在抛物线上 ∴16= a *20*（20-40）
a??125
y??1x?x?40?25
∴解得：
∴所求抛物线的解析式为
评价：选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也比较简捷
解后反思：通过以上三种不同的解法，比较一下哪种方法较为简便？你有何感想？
练习2、已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与x 轴的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。(学生在导学案上书写解题过程，并用投影仪展示交流学生的成果)
分析：已知抛物线的顶点和与x轴的两个交点距离为4，根据抛物线的对称性可知与x轴的两个交点坐标是（-3,0）（1,0），知道三个点的坐标，其中一个是顶点，两个是与x轴的交点，所以有三种解法 解法一：设抛物线解析式为y=ax2＋bx＋c，
由抛物线的对称性可知：抛物线经过顶点(-1，-4)，与x轴交点(-3，0)
和(1，0)三点
可得方程组 a-b+c=-4 a+b+c=0 9a-3b+c=0 解得：a?1,b?2,c??3
∴抛物线的解析式为：y?x2?2x?3 解法二：设抛物线为y=a(x+1)2-4
由抛物线的对称性可知：抛物线经过(-3，0)， ∴0=4a-4 解得a?1
∴所求抛物线的解析式为y?(x?1)2?4
解法三：设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）
根据题意可知
∵点（-1,-4）在抛物线上 ∴-4=a*（-1+3）*（-1-1） ∴解得：a?1
∴所求抛物线的解析式为 y?(x?3)?x?1?
(四)、归纳反思
本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。 （2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。
（3）当已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标时，通常设为两根式y=a(x-x1)(x-x2) （五）、布置作业 P57 复习题22 第6题
22.1.7用待定系数法求二次函数的解析式教学设计
