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值域补充
(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应
先
考虑其定义域 .
(2) 、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是
求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x y 为纵坐标的点 P(x ，y) 的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x
∈A)中的 x 为横坐标，函数值 ∈A)的图象．
C上每一点的坐标 (x ，y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每 一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x ，y) ，均在 C上 . x∈A }
即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) ,
图象 C一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行于 Y 轴的 直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法：
A、描点法： 根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法：
为
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换 :
（1）将 y= f(x) 在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)
∣的图象如：书上 P21例 5
x
（2） y= f(x)
和 y= f(-x) 的图象关于 y 轴对称。如 y
a x与 y a x
1 a
（3） y= f(x)
和 y= -f(x) 的图象关于 x 轴对称。如 y
log a x与 y
log a x log 1 x
a
Ⅱ、平移变换 : 上加下减
由 f(x) 得到 f(x a)
左加右减；
由 f(x) 得到 f(x)
a
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(3) 作用： A、直观的看出函数的性质； B、利用数形结合的方法分析解题的思路； C、提高解题的速度；发现解题中的错误。
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（
2）无穷区间；（ 3）区间的
数轴表示．
5．映射
定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则
f ，使对
于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就 称对应 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f ：A
B”
给定一个集合 A到 B的映射，如果 a∈A,b ∈B. 且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象
说明 : 函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合
A、B 及对应法则 f
是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合
A到集合 B的对应，它与从 B
到 A的对应关系一般是不同的；
③对于映射 f ：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合 A 中的每一个元素，在集合 B中
都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合
A 中不同的元素，在集合 B中对应的象可以
是同一个；（Ⅲ）不要求集合
B中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6、函数的表示法：
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断
一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于
x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法：必须注明函数的定义域；
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3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函
数值
补充一：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的
自变量的取值情况．注意： （ 1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（ 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数
如果 y=f(u),(u
∈M),u=g(x),(x ∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x) ，(x ∈A) 称为 f 是 g
的复合函数。
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数 y=f(x)
的定义域为 I ，如果对于定义域
间
I 内的某个区
D内的任意两个自变
量 x1，x2，当 x1 D称为 y=f(x) 的单调增区间； 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1 注意： 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 精心整理 2、必须是对于区间 D内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1 y=f[g (x)] 增 减 减 增 x) 增 增 减 减 u) 增 减 增 减 （2） 图象的特点 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函 数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降 的. (3). 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x1，x2 ∈D，且 x1 4 定号（即判断差 f(x 1) －f(x 2) 的正负）； 5 下结论（指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性）． (B) 图象法 ( 从图象上看升降 ) 的单调性与构成它的函数 u=g(x) ，y=f(u) (C) 复合函数的单调性：复合函数 f[g(x)] 的单调性密切相关，其规律如下： 复合函数单调性：口诀： 同增异减 注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集 . （4）判断函数的单调性常用的结论 y f (x) 与 y f ( x) 的单调性相反； ①函数 ②当函数 y ③函数 恒为正或恒有负时， f ( x) 与函数 y f ( x) 的单调性相反； C （C为常数）的单调性相同； f (x) 与函数 y f ( x) y C f ( x) ④当 C > 0 （C为常数）时， f ( x) 与 y 的单调性相同； y 当 C < 0 （C 为常数）时， f (x) 与 y C f (x) 的单调性相反； f ( x)g ( x)f ( x) g ( x) ⑤函数 、 都是增（减）函数，则 仍是增（减）函数； y f ( x) y 1 精心整理 ⑥若 f ( x) 0, g ( x) 0 且 f (x) 与 g(x) 都是增（减）函数，则 f ( x) g( x) 也是增（减）函数；若 f (x) 0, g( x) 0 且 f ( x) 与 g ( x) 都是增（减）函数，则 f ( x) g( x) 也是减（增）函数； ⑦设 f ( x) 0 ，若 1 f ( x) 在定义域上是增函数，则 n f ( x) 、 k f (x)(k 0) 、 f n ( x)( n 1) 都是 增函数，而 f ( x) 是减函数 . 8．函数的奇偶性 （1）偶函数 一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x，都有 f( －x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函数． （2）奇函数 一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x，都有 f( －x)= —f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函数． 注意： 1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 函数可能没有奇偶性 , 也可能既是奇函数又是偶函数。 2 、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义 域内的任意一个 x，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． （ 3）具有奇偶性的函数的 图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 ． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其 定义域是否关于原点对称； 2 确定 f( －x) 与 f(x) 的关系； 3 作出相应结论：若 f( － x) = f(x) 或 f( －x) －f(x) = 0 ，则 f(x) 是偶函数；若 f( －x) = － f(x) 或 f( － x) ＋f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．
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