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高中数学必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念：
1、集合的含 ：某些指定的 象集在一起就成 一个集合， 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；
（2）元素的互异性；
（3）元素的无序性
其中每一个 象叫元素。 明： (1) 于一个 定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个 象或者是或者 不是 个 定的集合的元素。
(2) 任何一个 定的集合中，任何两个元素都是不同的 象，相同的 象 入一个集合 ， 算一个元素。
(3) 集合中的元素是平等的，没有先后 序，因此判定两个集合是否一 ， 需比 它 的元素是否一 ，不需考 排列 序是否一 。
(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示： { ? } 如{ 我校的 球 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }
（ 1）用拉丁字母表示集合： A={我校的 球 },B={1,2,3,4,5}
（ 2）集合的表示方法：列 法与描述法。
（Ⅰ）列 法：把集合中的元素一一列 出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法。用确定的条件表示某些 象是否属于 个集合的方法。① 言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 } ②数学式子描述法：例：不等式 x-3>2 的解集是 {x ∈R| x-3>2} 或{x| x-3>2}
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（3）图示法（文氏图）：
4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：
N
正整数集 N* 或 N+
整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：
a 是集合 A的元素，就
说
a 属于集合 A
记作 a ∈A ，相反， a 不属于集合 A 记作 a A
6、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合 2．无限集 含有无限个元素的集合 3．空集 不含
任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1. “包含”关系———子集
对于两个集合 A与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合 A为集合 B的子集，记作 A B
注意： 有两种可能（ 1）A 是 B的一部分，；
（
2）A 与 B 是同一集合。
反之 : 集合 A不包含于集
合
B, 或集合 B不包含集
合
A, 记作 A B 或 B A
集合 A 中有 n 个元素 , 则集合 A子集个数
为
2n.
2．“相等”关系 (5 ≥5，且 5≤5，则 5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1}
“元素相同”
结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时 ,
集合 B的任何一个元素都是集
合
A的元素，我们就说集
合
A 等于集合 B，即：
A=B
A
B且 B
A
① 任何一个集合是它本身的子集。 A A
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②真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) ③如果 A B, B C , 那么 A C
④ 如果 A B 同时 B A 那么 A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定 : 空集是任何集合的子集，
空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义 ：一般地，由所有属于 A且属于 B的元素所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集．
记作 A∩B(读作” A 交 B”) ，即 A∩B={x|x ∈A，且 x∈B}．
2、并集的定义 ：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作： A∪B(读作” A 并 B”) ，即 A∪B={x|x ∈A，或 x∈B}．
3、交集与并集的性质： A∩A = A，A∩φ = φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ = A ,
A∪B = B ∪A.
4、全集与补集
（ 1）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U来表示。
（ 2）补集：设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 A SS），由 S 中
A
CsA
所有不属于 A的元素组成的集合，叫做
S 中子集 A的补集（或余集）。
记作： CSA ，即 CSA ={x | x
S 且 x A}
（ 3）性质：⑴ CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U
(4)(C
U
A)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C
U
A)∪(C UB)=C U(A∩B)
二、函数的有关概念
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1．函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f ，使对于集
合 A中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ： A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x) ，x∈A．其中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集
合 {f(x)| x ∈A } 叫做函数的值域．
注意： 1、如果只给出解析式 y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成 集合或区间 的形式．
定义域补充：
能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式
组的主要依据 是：(1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . （6）指数为零底不可以等于零 (7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .
( 注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和
对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个
函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和
函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 ( 两点
必须同时具备 )
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