第一篇 考前必看公式与结论
专题01 常用公式大全及必记结论
一、集合与简易逻辑 1.几何关系及运算中常用结论
2．含有个元素的集合共有个.
3.含逻辑连接词命题真假判定 ①②③
与
真假相反；
一假即为假，两真才为真； 一真即为真，两假才为假。
个子集；
–1个真子集；非空子集有
–1个；非空的真子集有
–2
4.常见结论的否定形式 结论 否不是 都大小至少一至多一个 至少两个 至多有（个 ）至少个 至多有个 至少有（个 ）对所有，成立 存在某，不成立 且 或 或且 对任何不成立 存在某成立 ，，是 于 于 个 不不大不小一个也没有 定 是 都是 于 于 5.特称命题与全称命题的否定 全称命题：对特称命题：
，使，使
成立，其否定为：成立，其否定为：
，使，使
成立； 成立。
6. .四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 A 1
互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否
否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
原命题与逆否命题真假，逆命题与否命题同真假 7.充要条件判定方法 ①定义法：若是充要条件. ②集合法：若满足条件B
A，则
的集合为A，满足条件的集合为B，若A
是 充要条件。
B，则
是的充分不必要条件；若
，则
是充分条件；若
，则
是必要条件；若
，且
，则
是必要不充分条件；若A=B则，
对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法. 二、函数
1.函数值域与最值求法
(1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法.
(2)换元法：换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单问题的重要工具，包括代数换元和三角代换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这个函数为，如是关于
的二次函数，如含
和
的函数等常用换元法，常设
=，
或=，
=，等等，在用代数换元法时，注意①新变量的范围.②在换元前后原变量的范围应保持不变；
对于，
满足圆的方程或椭圆的方程或可化为平方和为1的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换
或（0，1）的含二次根式的函数的最值问题，常设
即圆的参数方程或椭圆的参数方程；对定义域为=
或=
，将其化为三角函数的最值问题，注意参数的范围.
（3）利用函数有界性求值域（最值） 若可化为关于
、
、
、
（＞0且≠1）等函数的函数的最值问题，就利用这些函数的有界
将
，
或表示出来，利用
性求最值，这类问题通常有两种思路，（1）将函数解析式看作方程，用
2
，等值域或范围，化为关于的不等式，通过解关于的不等式求出的范围，即可求出最值；
利用这些函数的有界性，再利用不等式性质或函数的图像与性质，求出函数的最值. （4）不等式法
若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域.
若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为两项的和的形式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值时，.应注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最值时，多次用到均值不等式，一定要注意几个不等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值. （5）利用判别式求值域（最值）
对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件，若有限定条件不能用此法，另外要注意要验证判别式为0时是否成立． （6）数形结合法
对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三角函数在某个区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据的范围，求出内函数的值域，结合三角函数的图像，求出三角函数的范围，在利用不等式的性质求出值域，这类最值问题是高考考查的重点 （7）分段函数的值域
先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域. （8）复合函数的值域
先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外函数的定义域，在求出完函数的值域就是复合函数的值域. 2.分式函数
通过常量分离化为：
（
）图像与性质
=
对称中心为（，），可将函数=的图像向左（＞0）(向右（＜0））平移||个单位，
A
3
再向上（当当
＞0）（向下（＞0时，＜0时，
＜0））平移||个单位得到.
），（），（
，+∞）； ，+∞）.
减区间为（-∞，的增区间为（-∞，
3.二次函数
(1)解析式：①一般式②顶点式③零点式
解析式与性质
;
;
.
（2）性质:顶点为（，），对称轴为：=；
当＞0时，减区间为（-∞， 当＜0时，增区间为（-∞，4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数具体如下： (1)当＞0时，
.
若
，则
，
），增区间为（），减区间为（
，+∞）； ，+∞）
在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，
，
；，则
，
，
.
(2)当＜0时，若若
，则
5.一元二次方程的实根分布 ，
是一元二次方程
充要条件 =0的根，设充要条件1 =
.
充要条件2 根的分布
4
,(,+∞) ∈＞＞且 ,∞,∈(-) ＜＜且 ＜＜＜ ＜＜ ＜＜ ＜＜ ＜ 6. 不等式恒成立、有解判断结论： (1)
(2)对于参数a及函数y?f(x),x?A.
若a?f(x)恒成立，则a?fmax(x)；若a?f(x)恒成立，则a?fmin(x)； 若a?f(x)有解，则a?fmin(x)；若a?f(x)有解，则a?fmax(x)； 若a?f(x)有解，则fmin(x)?a?fmax(x). 7.函数的单调性 (1)设
那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数减函数.
在某个区间内可导，如果
，则
为增函数；如果
，则
为
A
5
高中数学考试万能工具包专题1.1 常用公式大全及必记结论
