阶段质量检测（一） 导数及其应用 （部分）
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
π3π
0，?∪?，π? A.??4??4?π3π?C.??4，4?
B．[0，π) ππ3π
0，?∪?，? D.??4??24?
解析：选A y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的π3π
0，?∪?，π?. 范围是??4??4?
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选A 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．
3．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是( ) A. 0， B.
??2? 2??2，＋∞? ?2???
2??2?，0， 2??2?C. －∞，－D.－
?
?22??? ， 0，0， 22???
2
12x－12
解析：选A ∵f′(x)＝2x－x＝x，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递
2
减区间为0，
??2?. 2?
4．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1 C．0
1 B.
2 D．－1
解析：选A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0， 11
则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
221?31
f??2?＝2－2＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )
解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0 时，f′(x)>0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D. 16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x) 2的x的集合为( ) A．{x|－1 B．{x|x<1} D．{x|x>1} 1 解析：选B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>， 2∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数， ∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时， g(x)<0，即2f(x) 7．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( ) A．6千台 C．8千台 B．7千台 D．9千台 解析：选A 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值． 8．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有( ) A．af(a)＜bf(b) C．af(a)＞bf(b) B．af(b)＜bf(a) D．af(b)＞bf(a) 解析：选C [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0， ∴函数x·f(x)是R上的减函数， ∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)． 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上) 9．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝________. 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5. 答案：5 1 10．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________. 3 227 解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝，∴f′(2)＝22－2××2＋1＝. 33327 答案： 33 11．函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为________，单调递减区间为________． 解析：由题意，x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)， 1 令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜， 2∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) (－∞，－1) 12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________． 解析：y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)， 令y′＞0，得x＞2或x＜－2， 令y′＜0，得－2＜x＜2， ∴当x＝－2时取得极大值a＋42， 当x＝2时取得极小值a－42. 答案：a＋42 a－42 13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________. 解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3， 由根与系数的关系得， ?－1＋3＝－3，?b?－3＝3，2a ??a＝－3，∴? ?b＝－9.? 答案：－3 －9 ππ －，?时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈??22?b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________． 解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)， 因为f′(x)＝1＋cos x≥0， ππ －，?上是增函数， 故f(x)在??22?π∵>π－2>1>π－3>0， 2 ∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c 4－4x2 解析：f′(x)＝2，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1， ?x＋1?2即函数f(x)的增区间为(－1,1)． 又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增， m≥－1，?? 所以?m＜2m＋1， ??2m＋1≤1.答案：(－1,0] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值． (1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意， ??3a＋2b－3＝0，f′(1)＝f′(－1)＝0，即? ?3a－2b－3＝0，? 4x 在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是x＋1 2 解得－1＜m≤0. 解得a＝1，b＝0. ∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0， 故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数． ∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上． 设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0. ∵f′(x0)＝3(x20－1)， 故切线的方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)． 2注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x30－3x0)＝3(x0－1)(0－x0)． 化简得x30＝－8，解得x0＝－2. ∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0. 17. (本小题满分15分)设函数f(x)＝xeax＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程 － 为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)因为f(x)＝xeax＋bx， － 所以f′(x)＝(1－x)eax＋b. － ?f?2?＝2e＋2，?2ea2＋2b＝2e＋2，??依题设有?即?a－2 ???f′?2?＝e－1，?－e＋b＝e－1. － ??a＝2， 解得? ?b＝e.? － (2)由(1)知f(x)＝xe2x＋ex. － 由f′(x)＝e2x(1－x＋ex1)及e2x>0知， － － f′(x)与1－x＋ex －1－ 同号． － 令g(x)＝1－x＋ex1，则g′(x)＝－1＋ex1. 所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0， g(x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0， g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)， 故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 18．(本小题满分15分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2：阶段质量检测(一) 导数及其应用 (部分)
