阶段质量检测(一) 导数及其应用 (部分)
(时间: 120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.以正弦曲线y=sin x上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( )
π3π
0,?∪?,π? A.??4??4?π3π?C.??4,4?
B.[0,π) ππ3π
0,?∪?,? D.??4??24?
解析:选A y′=cos x,∵cos x∈[-1,1],∴切线的斜率范围是[-1,1],∴倾斜角的π3π
0,?∪?,π?. 范围是??4??4?
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个 C.3个
B.2个 D.4个
解析:选A 设极值点依次为x1,x2,x3且a<x1<x2<x3<b,则f(x)在(a,x1),(x2,x3)上递增,在(x1,x2),(x3,b)上递减,因此,x1,x3是极大值点,只有x2是极小值点.
3.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是( ) A. 0, B.
??2? 2??2,+∞? ?2???
2??2?,0, 2??2?C. -∞,-D.-
?
?22??? , 0,0, 22???
2
12x-12
解析:选A ∵f′(x)=2x-x=x,当0<x≤时,f′(x)≤0,故f(x)的单调递
2
减区间为0,
??2?. 2?
4.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.1 C.0
1 B.
2 D.-1
解析:选A f′(x)=3-12x2,令f′(x)=0, 11
则x=-(舍去)或x=,f(0)=0,f(1)=-1,
221?31
f??2?=2-2=1,∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
5.已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x-b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( )
解析:选D 由导函数图象可知,当x<0时,函数f(x)递减,排除A、B;当0 时,f′(x)>0,函数f(x)递增.因此,当x=0时,f(x)取得极小值,故选D. 16.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>,则满足2f(x) 2的x的集合为( ) A.{x|-1 B.{x|x<1} D.{x|x>1} 1 解析:选B 令g(x)=2f(x)-x-1,∵f′(x)>, 2∴g′(x)=2f′(x)-1>0,∴g(x)为单调增函数, ∵f(1)=1,∴g(1)=2f(1)-1-1=0,∴当x<1时, g(x)<0,即2f(x) 7.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1=17x2,生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产( ) A.6千台 C.8千台 B.7千台 D.9千台 解析:选A 设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3,y′=36x-6x2,令y′=0得x=6或x=0(舍),f(x)在(0,6)上是增函数,在(6,+∞)上是减函数,∴x=6时y取得最大值. 8.已知定义在R上的函数f(x),f(x)+x·f′(x)<0,若a<b,则一定有( ) A.af(a)<bf(b) C.af(a)>bf(b) B.af(b)<bf(a) D.af(b)>bf(a) 解析:选C [x·f(x)]′=x′f(x)+x·f′(x)=f(x)+x·f′(x)<0, ∴函数x·f(x)是R上的减函数, ∵a<b,∴af(a)>bf(b). 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.请把正确答案填在题中横线上) 9.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3处取得极值,则a=________. 解析:f′(x)=3x2+2ax+3,∵f′(-3)=0. ∴3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,∴a=5. 答案:5 1 10.若f(x)=x3-f′(1)x2+x+5,则f′(1)=________,f′(2)=________. 3 227 解析:f′(x)=x2-2f′(1)x+1,令x=1,得f′(1)=,∴f′(2)=22-2××2+1=. 33327 答案: 33 11.函数y=ln(x2-x-2)的定义域为________,单调递减区间为________. 解析:由题意,x2-x-2>0,解得x<-1或x>2,故函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞), 1 令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<, 2∴函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) (-∞,-1) 12.函数y=x3-6x+a的极大值为________,极小值为________. 解析:y′=3x2-6=3(x+2)(x-2), 令y′>0,得x>2或x<-2, 令y′<0,得-2<x<2, ∴当x=-2时取得极大值a+42, 当x=2时取得极小值a-42. 答案:a+42 a-42 13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a=________,b=________. 解析:y′=3x2+2ax+b,方程y′=0有根-1及3, 由根与系数的关系得, ?-1+3=-3,?b?-3=3,2a ??a=-3,∴? ?b=-9.? 答案:-3 -9 ππ -,?时,f(x)=x+sin x,设a=f(1),14.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈??22?b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系是________. 解析:f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3), 因为f′(x)=1+cos x≥0, ππ -,?上是增函数, 故f(x)在??22?π∵>π-2>1>π-3>0, 2
标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:阶段质量检测(一) 导数及其应用 (部分)
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