问题35 圆锥曲线中的最值、范围问题
一、考情分析
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用． 二、经验分享
1. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 三、知识拓展
x2y21.已知P是椭圆C：2?2?1?a?b?0?一点，F是该椭圆焦点，则b?OP?a,a?c?PF?a?c；
abx2y22.已知P是双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?一点，F是该椭圆焦点，则OP?a,PF?c?a；双曲线
ab?2b2?C的焦点弦的最小值为?2a,?.
a?min?四、题型分析
(一) 利用圆锥曲线定义求最值
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
x2y2?1内的两个点,M是椭圆上的动点,求MA?MB的最大值【例1】已知A(4，0),B(2，2)是椭圆?259和最小值．
【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A、M、B三点是否共线,总有MA?MB?AB,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．
【解析】由已知得A(4，0)是椭圆的右焦点,设左焦点为F(?4，0)根据椭圆定义得
MA?MB=2a?MF?MB?10?MB?MF,因为MB?MF?FB?210,所以MB?MF
?[?210,210],故MA?MB的最小值和最大值分别为10?210和10?210. 【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．
【小试牛刀】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知双曲线分别为
，实轴长为4，渐近线方程为的最小值为( )
A．
B．5
C．6
D．7 ，点N在圆
的左、右焦点
上，则
【答案】B
【解析】由题意可得2a＝4，即a＝2， 渐近线方程为y＝±x，即有即b＝1，可得双曲线方程为焦点为F1（
，0），F2，（
2
， y＝1， ，0），
由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|， 由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2， |MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|， 连接CF2，交双曲线于M，圆于N， 可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5． 故选：B．
3，
(二) 单变量最值问题转化为函数最值
建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．
x2y2【例2】已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线
abx?y?1?0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程.
（2）设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足
OS?OT?tOP(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
【分析】（1）由题意可得圆的方程为(x?c)?y?a,圆心到直线x?y?1?0的距离d?222c?12?a；
x2y2根据椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,
aba?2b?2c代入*式得b?c?1,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L2222方程为y?k(x?2),设p?x0,y0?,将直线方程代入椭圆方程得：1?2kx?8kx?8k?2?0,
??根据??64k?41?2k24?2??8k2?2??16k2?8?0得到k2??1；设S?x1,y1?,T?x2,y2?应用韦达定理28k8k2?2x1?x2?,x1x2?.讨论当k=0,t?0的情况,确定t的不等式.
1?2k21?2k2【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x?c)?y?a,
222∴圆心到直线x?y?1?0的距离d?c?12?a*
x2y2∵椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,
ab
a?2b?2c代入*式得b?c?1 ∴a?2b?2
x2?y2?1. 故所求椭圆方程为2（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为y?k(x?2),设p?x0,y0? 将直线方程代入椭圆方程得：1?2k∴??64k?41?2k∴k2?4?2?x2?8k2x?8k2?2?0
?2??8k2?2??16k2?8?0
?1 228k8k2?2,x1x2?设S?x1,y1?,T?x2,y2?则x1?x2?………………8分 221?2k1?2k当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,OS?OT?tOP成立,故,t=0符合题意. 当t?0时
???ty?y?y?k(x?x?4)??4k得01212?1?2k2?18k1?4k,∴x0?? y??0t1?2k2t1?2k228k2tx0?x1?x2?1?2k2
32k416k2将上式代入椭圆方程得：2?2?1 2222t(1?2k)t(1?2k)16k2整理得：t?
1?2k22由k2?12知0?t?4 2所以t?（?2，2）
【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于a、b、c的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P在椭圆上和向量式得t?f(k),进而求函数值域．
x2y23【小试牛刀】【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，2ab
且椭圆经过点?0,1?． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l1： x?2y?2?0与圆D:x?y?6x?4y?m?0相切： （ⅰ）求圆D的标准方程；
（ⅱ）若直线l2过定点?3，与椭圆C交于不同的两点E,F，与圆D交于不同的两点M,N，求EF·0?，MN的取值范围． 【解析】
(1) Q椭圆经过点?0,1?，?
221 ?1，解得b2?1，2bQe?3c3, ??， 2a2222x2?3a?4c?4?a?1?，解得a?4 ∴椭圆C的标准方程为?y2?1
42(2) (i)圆D的标准方程为?x?3???y?2??13?m,圆心为?3,2?， ∵直线l1： x?2y?2?0与圆D相切， ∴圆D的半径r?223?2?2?252?5,
2∴圆D的标准方程为?x?3???y?2??5．
（ⅱ）由题可得直线l2的斜率存在, 设l2方程为y?k?x?3?,
y?k?x?3?由{x24?y2?1 消去y整理得?1?4k2?x2?24k2x?36k2?4?0，
∵直线l2与椭圆C交于不同的两点E,F， ∴???24k解得0?k2??2?2?41?4k236k2?4?161?5k2?0，
??????1． 5设E?x1,y1?,F?x2,y2?,
高三数学备考冲刺140分问题35圆锥曲线中的最值范围问题含解析4
