双曲线
平面内到两个定点,
方程 简图 的距离之差的绝对值是常数2a(2a<
)的点的轨迹。
x2y2?2?1(a?0,b?0) 2ab_ yy2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab_ y_O _ x_O _ x 范围 顶点 焦点 渐近线 离心率 对称轴 准线方程 a、b、c的关系
x?a或x??a,y?R y?a或y??a,x?R (?a,0) (?c,0) (0,?a) (0,?c) y??e?bx ay??e?ax bc(e?1) ac(e?1) a关于x轴、y轴及原点对称 关于x轴、y轴及原点对称 a2x?? ca2y?? cc2?a2?b2 考点
题型一 求双曲线的标准方程
x2y2n1、给出渐近线方程y??x的双曲线方程可设为2?2??(??0)，与双曲线
mnmx2y2x2y2?2?1共渐近线的方程可设为2?2??(??0)。 2abab2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为
5； 4（2） 焦距为26，且经过点M（0，12）；
x2y2??1有公共渐进线，且经过点A?3,23。 （3） 与双曲线
916??x2y2y2x2解：（1）设双曲线的标准方程为2?2?1或2?2?1(a?0,b?0)。
abab由题意知，2b=12，e?∴b=6，c=10，a=8。
c5=。 a4x2y2x2?36?1或??1。 ∴标准方程为646436（2）∵双曲线经过点M（0，12），
∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。∴b?c?a?144。
222y2x2??1。 ∴标准方程为
14425x2y2（3）设双曲线的方程为2?2??ab
QA?3,23在双曲线上 233?∴9162????2?1 得??
1
4
4x2y2??1 所以双曲线方程为94题型二 双曲线的几何性质
方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出e?c222和c?a?b的关系式。 ax2y2【例2】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且
ab点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥e的取值范围。 解：直线l的方程为
4c。求双曲线的离心率5xy??1，级bx+ay-ab=0。 abb(a?1)a?b22 由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1?，
同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2?b(a?1)a?b22，
s?d1?d2?由s≥
2aba2?b2?2ab。 c42ab4≥c，即5ac2?a2?2c2。 c，得
55c42于是得5e2?1?2e2，即4e?25e?25?0。 解不等式，得
55?e?5。 ?e2?5。由于e＞1＞0，所以e的取值范围是24x2y2【例3】设F1、F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
ab?F1AF2?90o，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。
o解：∵?F1AF2?90
∴AF1?AF222?4c2
又︱AF1︱=3︱AF2︱，
∴AF1?AF2?2AF2?2a即AF2?a， ∴AF1?AF2∴
22?9AF2?AF2?10AF2?10a2?4c2，
222c101010??即e?。 a422题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
?Ax?By?C?0组，即?22，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共2222bx?ay?ab?点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
l?1?k2?x2?x1?1?1?y2?y1 2kuuuuruuur【例4】如图，已知两定点F1?2的点P的轨迹1(?2,0),F2(2,0)，满足条件PF2?PF是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果AB?63，且曲线E上存在点C，
y uuuruuuruuur使OA?OB?mOC，求
（1）曲线E的方程； （2）直线AB的方程；
（3）m的值和△ABC的面积S。
A C B O x 解：由双曲线的定义可知，
曲线E是以F1(?2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线的左支， 且c?2，a=1，易知b?c2?a2?1。
22故直线E的方程为x?y?1(x?0)， (2)设A(x1,y1), B(x2,y2),
?y=kx-122由题意建立方程组?22消去y，得(1?k)x?2kx?2?0。
?x-y=1又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有
?1?k2?0,?22?V?(2k)?8(1?k)?0,?解得?2?k??1。 ?x1?x2??2k2?0,1?k???2?0.?x1x2?21?k?又∵ AB?1?k?x1?x2?1?k?(x1?x2)?4x1x2 222?2k?2(1?k2)(2?k2) ?1?k?()?4??222221?k1?k(1?k)2(1?k2)(2?k2)依题意得2?63，整理后得28k4?55k2?25?0， 22(1?k)∴k?2552或k?。 74但?2?k??1，
∴k??5。 25x?y?1?0。 2故直线AB的方程为
uuuruuuruuur（3）设C(xc,yc)，由已知OA?OB?mOC，得(x1,y1)?(x2,y2)?(mxc,myc)，
∴(xc,yc)?(x1?x2y1?y2,)(m?0)。 mm2k222k?2?2?8， ??45，y1?y2?k(x1?x2)?2?2又x1?x2?2k?1k?1k?1∴点C(?458,)。 mm将点C的坐标代入曲线E的方程，的
8064??1， m2m2得m??4，但当m??4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。 ∴m?4，C点的坐标为(?5,2)，
C到AB的距离为5?(?5)?2?12(522)?1211∴△ABC的面积S??63??3。
231?， 3
一、抛物线 高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。 （一） 知识归纳 方程 图形 Oy2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) yyx2??2py(p?0) ylOFyxFxFOxFl l Olx 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 （0，0） x轴 y轴 pF(,0) 2F(?p,0) 2pF(0,) 2pF(0,?) 2 e=1 l:x??p 2l:x?p 2l:y??p 2l:y?p 2
（二）典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准
2方程有时可设为y?mx或x?my(m?0)。
2【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（完整word版）高中数学双曲线抛物线知识点总结
