鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中
2017届高三第一次联考
数学（理科）试
题
命题学校：荆州中学
命题人：荣培元
审题人：邓海波
张云辉马玮
第Ⅰ卷
一 .选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1. 复数z
10i3i
(
i为虚数单位)的虚部为
A.
1 B.
3 C.
3 D.
1542. 已知集合Ax|2
x2
1,Bxx2
2x30，则(CRA)
B=
A.
[2,1) B. (,2] C. [2,1)U(3,
) D.
(2,1)U(3,
)
3. 下列选项中，说法正确的是
A.若a
b
0，则log1a
log1b
2
B. 向量a
r
2
(1,m),b
r(m,2m1)(m
R)共线的充要条件是
m
0
C. 命题“
nN*
,3n(n2)2n1
”的否定是“nN*
,3n
(n2)2n1
”
D. 已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)f(b)
0，则f(x)在
区
间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
4. 实数
a0.33，blog0.3
30.3，c3的大小关系是A. abc B. acb C. ba
c D. bca
5. 函数y
x
3
x
2
的图象大致是
1
A. B. C. D.6. 已知
32
0
xdx,数列{an}是各项为正数的等比数列
,则
a4
a2
a的最小值为
3
A. 23 B. 2C. 63 D.
6
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.3
4 B.
4
2
C.
9112
4 D.
2
4
x
y38. 若实数
x,y满足xy3，则(x1)
2
y2
的最小值为
x
2y
6
A.
22 B.
10 C.
8 D. 10
9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：
南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三②
.逐节多三分③
，逐圈少分三④
. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？
此民谣提出的问题的答案是
(注：①五寸即0.5尺. ②一尺三即1.3尺. ③三分即0.03尺.④分三即一分三厘，等于0.013尺.)
A. 72.705尺 B. 61.395尺 C. 61.905尺 D. 73.995尺
3(1
x
10. 已知直线y
kx(k
R)与函数f(x)
4) (x0)1的图象恰有三个不同的公共点，则实数2x22 (x0)k的取值范围是
A.(
32
,) B.
(,2)U(2,) C.
(
,2) D.
(2,
)
11.已知x1是函数f(x)
ax
3
bxlnx(a0,b
R)的一个极值点，则lna与b1的大小关系
是 A.
lnab1 B.
lnab1 C.
lnab1 D.
以上都不对
12. 已知f(x)sin
xcosx (
14,x
R)，若f(x)的任何一条对称轴与
x轴交点的横坐标都
不属于区间(2,3)，则
的取值范围是
A. [
38,1112]U[1119
8,12] B. (14,512]U[5,3
] C. [37711
848,]U[,] D. (14,34]U[98,17
1281212
]第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答
.第
22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不
清、模棱两可均不得分.
r13. 已知向量ar
，b的夹角为
，且ar(ar3
br)
1，|ar
|2，则|br| .14. 已知数列{a1,a*
n}满足：a1
2
2,an
2
an
1
an(nN)，函数f(x)
ax
3
btanx，若
f(a4)9，则f(a1)f(a2017)的值是 .
15. 定义四个数a,b,c,d的二阶积和式
abcd
adbc. 九个数的三阶积和式可用如下方式化为二
a1a2a3
阶积和式进行计算：
bab2b3b1b3b1b21b2b31
cc2ca2ca3
. 已知函数
3
1c3
c1c2
1c2c3
n 2
9
f(n)
n 1 n(n
N*
)，则f(n)的最小值为 .
1 2 n
16. 如图所示，五面体
ABCDFE中，AB//CD//EF，四边形ABCD，
ABEF，CDFE都是等腰梯形，并且平面ABCD平面ABEF，AB12,CD3,EF4，梯形ABCD的高为3，EF到平面ABCD的距离为6，则此五面体的体积为 .
三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17.(本小题满分
12分)
ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
3sinCccosB
b
.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）点
D为边AB上的一点，记BDC
，若
2
，
CD2,AD
5，a
855
，求
sin与b的值.
18.(本小题满分
12分)
已知函数f(x)Asin(x
) (A
0,
0,
2
)的部分图象如图所示
.
（Ⅰ）求
f(x)的表达式；
（Ⅱ）把函数
y
f(x)的图象向右平移4
个单位后得到函数
g(x)的图
象，若函数
h(x)
ax
12g(2x)
g(x)在(
,
)单调递增，
求实数a的取值范围.
19.(本小题满分
12分)
已知两数列{an}满足bn13n
n}，{ban(n
N*
)，3b1
10a1，其中{an}是公差大于零的等差
数列，且a2，a7，b2
1成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn.
20.(本小题满分12分)
一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产
A、B两种奶制品，如用甲类设
备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电8千瓦时，可得4千克B制品. 根据市场需求，生产的A、B两种奶制品能全部售出，每千克A获利a元，每千克B获利b元. 现在加工厂每天最多能得到50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不
得超过
480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工102千克A制品，乙类设备的加工能力没有限制.
其生产方案是：每天用x桶牛奶生产A制品，用y桶牛奶生产B制品(为了使问题研究简化，x,y
可以不为整数).（Ⅰ）若
a24，b16，试为工厂制定一个最佳生产方案（记此最佳生产方案为
F0）,即x,y分别
为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；
(Ⅱ) 随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市场波
动.若a
24(14)，b
16(155
2
)（这里01）
，其它条件不变，试求的取值
范围，使工厂当且仅当．．．．采取（Ⅰ）中的生产方案
F0时当天获利才能最大
.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)ln(x
2a)ax, a0.
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）记f(x)的最大值为M(a)，若a12
a10且M(a1)M(a2)，求证：a1a2
4
;
（Ⅲ）若a2,记集合{x|f(x)
0}中的最小元素为
x0,设函数g(x)|f(x)|x，求证：x0是g(x)
的极小值点.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
x
1cos在直角坐标标系
xoy中，已知曲线C1:
(为参数,
y
sin
2
9R）
，在以原点O为极点，x4
轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位）
，曲线C22:
sin(
4
)
2
，曲线
C3:
2cos
.
（Ⅰ）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；
（Ⅱ）设
A,B分别为曲线C2，C3上的动点，求
AB的最小值.
23. (本小题满分
10分) 选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)xa,aR.
（Ⅰ）当
a
2时，解不等式：
f(x)
62x5；
（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)
4的解集为[1,7]，且两正数s和t满足2st
a，
求证：18s
t
6.
2017届高三第一次联考
数学(理科)试题
参考答案
题号 12 34 56789101112答案
B
C
D
C
A
D
C
C
B
D
B
C
13.
3 14. 18 15.
21 16.
57
17.（Ⅰ）由已知
3sinCc3sinCsinCQsinC0，
sinBcosB
cosB
sinB
tanB
3b
，得
，cosB
3
，
Q0
B
，
B
6. ………………...4分
（Ⅱ）在
BCD中，Q
CD
BCasinB
sinBDC
sin
,
85
2sin30
o
5sin
，
sin
255
. .…………...8分
Q为钝角，ADC为锐角，cosADCcos()1sin
2
55
，
在
ADC中，由余弦定理，得b
2
AD
2
CD
2
2ADCDcos54252
55
5，所以b
5.
…………...12分
18.（Ⅰ）由图可知，
A1，最小正周期T2(544
)2
2
，
1.
又422k(k
Z),且|
|
2
，
4
.
f(x)sin(x
4
).
………...5
分（Ⅱ）
g(x)
f(x
4)sinx,
………………...7分
则h(x)
ax12
g(2x)
g(x)
ax
1
2
sin2xsinx，h(x)acos2xcosx
2cos2
xcosx1a
2(cosx
194)
2
8a，Qh(x)在
,
单调递增，
h(x)
0恒成立，
h(x)9min
8
a
0，
a
99
8，即a的取值范围为[8
,).
………………...12
分
19.（Ⅰ）设{an}的公差为d(d
0),Q3b1
10a1,
3(13a1)10a1,a1
3.
又a2
a1
d
3d，a7a1
6d
3(12d)，b2
19a2
9(3d)，
由a2
2
2，a7，b2
1成等比数列，得9(12d)
9(3d)，Qd
0，12d3d，d2，
an
3(n1)2
2n1.
………………...6
分
（Ⅱ）因为an
2n1，所以bn
1(2n1)3n
，
于是，Sn(133)(1532
)
(1(2n1)3n
)，
令T
331
532
2n13
n
①
则
3T
33
2
533
2n13
n1
②
①
②，得
2T
33
1
23
2
233
23n
2n1
3
n1
9
2
3
2
3
n1
132n13
n1
2n3
n1
，
Tn3
n1
，
故Sn1
nnn3n(13
n1
)．
………………...12分
20. 设工厂每天的获利为
z元 . 由已知，得z
3ax4by,且
12x
8y480
xy
503x102，作出可行域如图所示
（图中阴影区域）. ……3分
x
0,y
0（Ⅰ）z
3ax4by
72x64y，当z
72x
64y对应的直线过
直线12x
8y
480与xy
50的交点(20,30)时，z取最大值
3360. 即最佳生产方案F0为x
20,y
30，工厂每天的最大获利
为
3360元. …………… ...6
分
(Ⅱ)为使z当且仅当x20,y
30时取最大值，则直线z3ax4by的斜率
3a4b
满足
123a
84b1，………………..8分
所以
4a3
b2，8144
91552
3
，注意到155
2
0，
402所以
410
2
，Q(4)
2
44010，402
20
810410恒成立；
由202
8
1
0，得
1
1
102
，Q01，
0
12
，故
的取值范围为(0,1
2
).
………………...12
分
)(x2af(x)
1(a1
21.（Ⅰ）
a)
x2a
a
x2a
，因为x
2a，a0，由f(x)
0，得
2ax
1a
2a；由f(x)
0，得x
1a
2a；
所以，f(x)的增区间为(2a,
11a
2a)，减区间为(a
2a,
). ………………...3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
M(a)
f(1a
2a)2a
2
1lna，………………...4分
2a2
1lna2a2
a21
2
1lna2(a2
1
2，
2a2
1)
lna2lna1
ln
a,
1
a222aa2
2
a
1
2a2ln
2a11a2
a1aln
a2
a4a1a2(
1
a)2ln
a24aa1
1a2
1
a2
a,
1
(
a2a,1
a1
a)2
设h(t)
t12t
2lnt（t1），则h(t)11t
2
(112tt
)
0，
所以，h(t)在(1,)上单调递增，
h(t)
h(1)
0，即t
1a2t
2lnt
0，因
a1，故
1
a2a2a1a2ln2a11a1a2
1
a2ln
2
a0,
1
(a2a1 , 所以a14
. …... 8分
a1
a)
2
（Ⅲ）由(Ⅰ)可知，f(x)在区间(2a,1
a
2a)单调递增，又x2a时，f(x)
.
易知，f(1a2a)M(a)2a2
1lna在(2,)递增，M(a)M(2)
7ln20，
2ax1ax1
02a，且2ax0时，f(x)0；x0xa
2a时，f(x)
0.
(a1)xln(x2a) (2axx0)
当
2ax
1a
2a时，g(x)
ln(x2a)(a1)x (x1，
0x
a
2a)
于是
2ax
x110时，g(x)(a1)
x2a
(a1)
,（所以，若能证明
xx10
02a
a1
2a，便能
证明(a1)
12
x0
2a0）. 记H(a)f(
1a1
2a)2a
1a1
1ln(a1)，则
H(a)4a
11(a1)
2
a1
，Q
a2，
H(a)8
119
3
0，H(a)在(2,)内单调递
增，H(a)H(2)
2213
ln30，
Q
1a1
2a1a
2a，f(x)在(2a,a1
2a)
（
(2a,
12a)）内单调递增，
(2a,
1
a
x0
a1
2a),于是2a
x
x0时，
g(x)(a1)
1(a1)
1
g(x)在x2a
(a1)
1x(2a,x0)递减.
02a
1
0,
a12a2a当x10
x
1a
2a时，相应的g(x)
1x
2a
(a1)
(a1)10，
(1a
2a)2a
g(x)在(x0,
1a
2a)递增.
故x0是g(x)的极小值点.
………………...12分
x
1cos22. (Ⅰ) 由C2
51:
y
sin
2
9，得y
9x1)2
,
4
4
1cos
4
(曲线C51的普通方程为
y
4
(x1)2
（0x2）,
由C22:
sin(4
)
2
，得曲线C2的直角坐标系普通方程为
xy10.
5由
y4(x1)2
，得4x
2
12x50，x
1x
y1
0
2
(x
532
舍），y
2
，
所以点M的直角坐标为(1
3
2,2
). ………………...5分
（Ⅱ）由C3:
2cos
，得
2
2cos，
曲线C3的直角坐标系普通方程为
x
2
y
2
2x0，
即(x
1)2
y
2
1，则曲线C3的圆心(1,0)到直线x
y1
0的距离d
|101|2
2，Q圆C3
的半径为
1，所以|AB|min
21. ………………...10分
523. (Ⅰ)不等式即
x22x56，
①
x2
或②
2x
5
2x
22x56
x
252x
6或③
x2
1312x52x
6
. 由①，得
x
3
；由②，得
x
；由③，得
x
3
；
所以，原不等式的解集为(Ⅱ)不等式f(x)
(
,]U[,334，
113
). a4
13
………………...5分
4即41s
8t
11
(3s
xa
8t
x
ts
a4，
16st
13
a41且a4
t16ss
t
7，
a
分
3.
)(2st)(10)(102)6. ……...10
说明: 各题评分时评分标准可根据情况适当细化.
华师一附中、黄冈中学八校联考理科数学试题及答案(20200807031647).pdf
