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第九章 平面解析几何 第50课 抛物线课时分层训练
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
1．(2016·四川高考改编)抛物线y＝4x的焦点坐标是________． (1,0) [由y＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]
2．已知点F是抛物线C：y＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为________．
3 [由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为AF＝4，则线段AF的2＋4
中点到抛物线C的准线的距离为＝3.]
2
3．(2017·南京模拟)抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是
3________. 【导学号：】
3y2
[由双曲线x－＝1知其渐近线方程为y＝±3x，即3x±y＝0， 23又y＝4x的焦点F(1,0)， ∴焦点F到直线的距离d＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2
33
2
＋－1
＝2
3
.] 2
4．已知抛物线C与双曲线x－y＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．
y2＝±42x [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．
设抛物线方程为y＝±2px(p>0)，则＝2，p＝22.
2所以抛物线方程为y＝±42x.]
5．过抛物线y＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长AB为__________．
8 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝
2
22
px－1.
??y＝4x，联立?
?y＝x－1，?
2
消去y得x－6x＋1＝0.
2
所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．
3
－ [∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上． 4
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2
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∴－＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．
23－03
∴kAF＝＝－.]
－2－24
7．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
95__________．
2
px2y2
x＝－2 [由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝5，
9
5
所以c＝a－b＝4，所以c＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)，
2
2
2
x2y2
??2
又抛物线y＝2px的焦点为?，0?.
?2?
依题意，得＝2，
2
于是抛物线的准线x＝－2.]
8．设P是抛物线y＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________. 【导学号：】
5 [如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．
连结AF交抛物线于点P，此时最小值为
2
ppAF＝[1－－1]2＋0－1
2
＝5.]
9．如图50-2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a
图50-2
2
ba????2＋1 [由题意可得C?，－a?，F?＋b，b?， ?2??2?
a＝pa，??
则?2
?a＋b?，b＝2p?2?????
2
aa
b＝2＋1(舍去2－1)．] a2
2
2
10．(2017·徐州模拟)抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y－x＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
23 [y＝2px的准线为x＝－.
2
2
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由于△ABF为等边三角形． 因此不妨设A?－2，?p?
p?2
?，B?－，－?. 3??23?
2
?pp?又点A，B在双曲线y－x＝1， 从而－＝1，所以p＝23.]
34
11．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
2
p2p2
y1y2
的值一定等于________． x1x2
－4 [①若焦点弦AB⊥x轴， 则x1＝x2＝，所以x1x2＝；
24∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p， ∴
2
pp2
y1y2
＝－4. x1x2
②若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为y＝k?x－?，
?2?联立y＝2px得kx－(kp＋2p)x＋
2
2
22
2
?
p?p2k2
＝0，则x1x2＝.y1y2＝－p，∴＝－4.] 44x1x2
p2
2
y1y2
12．设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________. 【导学号：】
?p?y2＝4x或y2＝16x [由已知得抛物线的焦点F?，0?，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．
2
?
?
→?p?→?y0?则AF＝?，－2?，AM＝?，y0－2?.
?2??2p?→→2
由已知得，AF·AM＝0，即y0－8y0＋16＝0，
2
?8?因而y0＝4，M?，4?. p?
?
由MF＝5，得?8－p?2＋16＝5， ?p2???
2
2
又p>0，解得p＝2或p＝8. 故C的方程为y＝4x或y＝16x.]
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则
2
AB＝________.
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高考数学一轮复习第九章平面解析几何第50课抛物线课时分层训练
