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浙江版初二数学期末复习专题——坐标几何与三角形
坐标几何
重点、难点：
1. 在生活和生产实践中，人们常利用一对有序实数来确定物体的位置。
2. 平面直角坐标系是常用的一种坐标系，它由坐标平面、坐标轴以及原点组成。
3. 平面直角坐标系中，图形的变换本质上是点的变换。比如点的对称以及点的平移；今后还会学到由点面组成的平面图形的旋转。 【典型例题】
例1. 到x轴的距离等于2的点能组成一个怎样的图形？ 解：由题意，所有到x轴的距离均等于2的点，组成的图形是直线 若设这个距离为d，则|d|＝2，∴d＝－2或2 ∴题设要求的图形是：与x轴平行，且与x轴相距为2的两条直线。 例2. 已知点P到x轴的距离是3，它到原点的距离是5，求点P的坐标。 解：P到原点的距离为5
∴点P在以O为圆心，半径为5的圆上 又点P与x轴相距为3
∴点P在以5为斜边长，一条直角边为3的直角三角形顶点上（如图） ∴容易求得点P共有4个：P1（4，3），P2（4，－3），P3（－4，－3），P4（－4，3）
y P 5 O 3 x
例3. 已知点M既在过A（3，－2），且与x轴平行的直线上，又在过点B（2，－3），且平行于y轴的直线上，求点M的坐标。 解：过点A（3，－2），且与x轴平行的直线上的所有点，均有纵坐标等于－2的特征……①；同理，过点B（2，－3），且与y轴平行的直线上的所有点，均有横坐标等于2的特征……②；又点M既要满足条件①，又要满足条件②，∴点M一定是M（2，－2）。 例4. 已知点A（－5，0），B（3，0），且点C在第二象限内。若AC＝5，△ABC的面积
S?ABC?12，求点C的坐标。
解：设点C为（x，y），其中x<0，y>0
则由题意，得
S?ABC?1?AB?y2
但A（－5，0），B（3，0） ∴AB?3?(?5)?8
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11AB?y??8y?4y2∴2
∴4y?12 （如图）
∴y＝3
y C A D O
B x
又AC＝5，CD＝3
∴在Rt△ACD中，AD＝4 ∴OD?OA?AD?5?4?1
∴C（－1，3）
例5. 已知O为坐标原点和A（1，1），试在坐标轴上找到一点P使△AOP为等腰三角形，你能找到多少满足条件的点P？求出P的坐标。 解：∵△AOP为等腰三角形 ∴它的三条边AO，PO和AP中应该有两条边相等
又∵OA?2
∴PO?2或AP?2或PO?AP?OA 因此讨论如下：
（1）若OA?2为等腰△AOP的底边时，设OA的中垂线交x轴于P1，交y轴于P2 ∵可知等腰Rt△OMP1和等腰Rt△OMP2 ∴易求得P1（1，0），P2（0，1）
y P2 O M A
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（2）若OA?2为等腰△AOP的腰时
以O为圆心，OA长为半径的圆与坐标轴交于P3，P4，P5，P6
0）（?2）2，0）4?2，50，6∵OA?2，易求得P3（0，2），P（，P和P（
y P3 A P4 O P6 x P5
以A为圆心，OA长为半径的圆与坐标轴交于P7和P8
（2）和P（0）70，82，∴易求得P
y P7 A O P8 x
∴满足题意的点P共有八个
【模拟试题】
1. 若点P（a，b）在第四象限，则点Q（－1－a，3－b）在第_________象限。
22 2. 若点M（x，y）的坐标满足条件x?y?0，则点M在坐标平面上的位置是______。
3. 直角坐标系中，点A（2，－4）与B（－3，－2）的距离是多少？
4. 已知点A（－a，b）关于y轴的对称点为B，点B关于原点对称的点为C。你有几种方法来求出点C的坐标？点C的坐标是多少？
2a?3?(b?2)?0，则点M（a，b）关于y轴对称的点的坐标是多少？ 5. 若
6. 设以A（－3，7）和B（－3，－2）为端点的线段向左平移了5个长度，请你求出平
移后的线段上任意一点的坐标。
7. △ABC中，顶点A、B、C的坐标分别为A（2，－1），B（1，－3）和C（5，－5）。 （1）判断这个三角形的形状。 （2）求△ABC的面积。 8. 已知A（5，－2），B（0，－3），在x,y轴上各找一点P，使得PA＝PB。求点P的坐标。
三角形
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重点、难点：
1. 等腰三角形的判定与性质 2. 直角三角形的判定与性质 3. 全等三角形的判定与性质
【典型例题】
例1. 如图所示，已知?B?60°，?C?20°，?BEC?3?A，求?A的度数。
A E B C
解：应当把?B，?C与所在的三角形一起作联想，然后求?A。 ??BEC?3?A
∴提示通过三角形的外角定理求解 延长BE交AC于点D ??BEC??EDC??C
即?BEC??A??B??C??A?80° ?3?A??A?80°，??A?40°
A E D B C
例2. 如图所示，△ABC中，AD平分?A，(AB?AC)，在AB上任取一点E，作EG?AD，
交AD于点H，交BC的延长线于点G。求证：
?EGB?1(?ACB??ABC)2
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A E H F B D C G
证明：△ABC中，?EG?AD，且AD平分?A ??AEF为等腰三角形
??AEF??AFE??GFC??ACB??G??GFC??G??AFE又?AEF??B??G??ACB??B?2?G1??G?(?ACB??B)21即?EGB?(?ACB??ABC)2
例3. 如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2?E=?A。
A D F E B C 证明：∵F为Rt△ABC的斜边AB上的中点 ∴容易想到“斜中线定理” ∴连CF
∴AF=CF=FB=CD
??A??1?180°?(?2??3)又?2??3，??A?180°?2?2但?2?90°??E???A?180?2(90°??E)?2?E
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