2020届高三年级第二学期期初联考试卷
数学试题
命题单位：丹阳高级中学审核单位：金陵中学
无锡一中
Ⅱ试题
21．【选做题】在
A、B、C三小题中只能选做
2题，每小题10分，共计20分．请在答卷
卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
3 0－1b
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．
对应的变换作用下，得到的
B．选修4—4：坐标系与参数方程
3
x＝1＋t，
5
(t为参数)，与曲线
4y＝t
5
在平面直角坐标系xOy中，直线l：
2
x＝4k，C：(k
y＝4k
为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．
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C．选修4—5：不等式选讲
11
已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．
64
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数
X的概率分布列与数学期望
E(X)．
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23．（本小题满分10分）
2n1
2n1
已
n
知
1xa0a1xa2x
2
…
a2n1x
，
nN
*
．记
Tn
k0
2k1an
k
．
（1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的nN，Tn都能被4n2整除．
*
Ⅱ试题
21．【选做题】在
A、B、C三小题中只能选做
2题，每小题10分，共计20分．请在答卷
卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
3 0－1b
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．【点评】考查矩阵与变换，简单题。【答案】
对应的变换作用下，得到的
解：在直线l：ax＋y－7＝0取点A(0，7)，B(1，7－a)．
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因为
3 0－1b
0 7
＝
0 7b
，
3 0－1b
1 7－a
＝
3b(7－a)－1
，………………4分
所以A，B在矩阵A对应的变换作用下分别得到点由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，
7b－91＝0，
………………8分
27＋b(7－a)－1－91＝0．
A′(0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)．
所以
解得a＝2，b＝13．………………10分
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l：
3
x＝1＋t，
5
(t为参数)，与曲线
4y＝t
5
C：
x＝4k2，y＝4k
(k
为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．
【点评】坐标系与参数方程，简单题。注意计算的准确性和速度。【答案】
解：直线l的参数方程化为普通方程得将曲线C的参数方程化为普通方程得
4x－3y＝4，………………2分y2＝4x．………………4分
联立方程组
4x－3y＝4，
解得2＝4x，y
1
x＝4，x＝，1
4或所以A(4，4)，B(，－1)．………………
4y＝4
y＝－1．
8分
25
．………………10分4
所以AB＝
C．选修4—5：不等式选讲
高三数学附加题
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已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．
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【点评】本题考查绝对值不等式的性质，简单题。绝对值不等式在一卷教学中应该也要有所涉及，对于作答会有较大的帮助。【答案】
证：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．………………5分由绝对值不等式性质，得11
y|≤3×＋2×＝1．
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即|x＋5y|≤1．………………10分【必做题】第
22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数
X的概率分布列与数学期望
E(X)．
【点评】概率分布，中等题。第一问考生应重点检查，不能出现错误。【答案】
C4×2248
A，P(A)＝＝＝．4
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2
2
解：（1）记“恰有2人申请A大学”为事件
高三数学附加题
江苏省金陵中学等三校2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学附加题及参考答案、点评
