精选教案
最值问题
一、填空题
1．(导学号 30042252)在半⊙O中，点C是半圆弧AB的中点，点D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB＝10，则PC＋PD的最小值是__53__.
,第1题图) ,第2题图)
2．(导学号 30042253)如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为217，则GE＋FH的最大值为____．
2
6
3．(导学号 30042254)如图，在反比例函数y＝上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直
x44线y＝－x上有一动点P，当P点的坐标为__(，－)__时，PA＋PB有最小值．
33点拨：设A点关于直线y＝－x的对称点为A′，连接A′B，交直线y＝－x为P点，此时PA＋PB有最小值，∵A(3，2)，∴A′(－2，－3)，设直线A′B的直线解析式为y＝kx＋
?11?－3＝－2k＋b，
b，?解得k＝，b＝－2，∴直线A′B的直线解析式为y＝x－2，联立
22??1＝6k＋b，
1
??y＝2x－2，444444
解得x＝，y＝－，即P点坐标(，－)，故答案为(，－) ?333333
??y＝－x，
二、解答题
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4．(导学号 30042255)已知点M(3，2)，N(1，－1)，点P在y轴上，求使得△PMN的周长最小的点P的坐标．
解：作出M关于y轴的对称点M′，连接NM′，与y轴相交于点P，则P点即为所求，
?31?2＝－3k＋b，
设过NM′两点的直线解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则?解得k＝－，b＝－，
44??－1＝k＋b，
3111
故此一次函数的解析式为y＝－x－，因为b＝－，所以P点坐标为(0，－)
4444
5．(导学号 30042256)(2015·宁德)如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB 上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为多少．
解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′， ON′，OM，ON，∵N关于AB的对称点为N′， ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N是弧MB的中点， ∴∠A＝∠NOB＝∠MON＝20°，
∴∠MON′＝60°， ∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝4, ∴△PMN周长的最小值为4＋1＝5
6．(导学号 30042257)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，
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C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值．
解：(1)把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，a＋b＋c＝0，a＝－1，????
?9a－3b＋c＝0，解得?b＝－2，即抛物线的解析式是y＝－x－2x＋3 ???c＝3，?c＝3，
2
(2)如图，△PBC
的周长＝PB＋PC＋BC，∵BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．A，B两点关于对称轴对称，连接AC，交对称轴于点P，点P即为所求，∵AP＝BP，△PBC的最小周长＝PB＋PC＋BC＝AC＋BC，∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC＝3∴△PBC的最小周长＝3
2＋
10
2，BC＝
10，
7．(导学号 30042258)小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使得AP＋BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B′，(b)连接AB′与直线m交于点P，则点P即为所求．
请你参考小明的做法解决下列问题：
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(1)如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BP＋PE的值最小，并求出最小值；
(2)如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD上的中点，若E，F为AB边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF＝1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值．
解：(1)如答图2，作点E 关于AD的对称点F，交AC于点 F，连接BF，交AD 于点P，连接PE, 点P即为所求. 在等边△ABC中， AB＝2，点E是AB 的中点，AD是高，∴F是AC的中点，∴BF⊥AC于点F, ∴BP＋PE的最小值＝BF＝
22－12＝
3 (2)如答图3，作点G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝1，连接MH，交AB于点E，在BE上截取EF＝1，连接CF，则E，F为所求，∵AB＝4，BC＝6, G为边AEAD上的中点，∴DG＝GA＝AM＝3，∵AE∥DH，∴△MAE∽△MDH，∴＝，∴＝
DHDM33
，∴AE＝1，∴在Rt△GAE，Rt△CBF，Rt△CDG中，分别由勾股定理得，GE＝9＝
12＋32＝
10，CF＝
BF2＋BC2＝
22＋62＝2
10，CG＝10＋1＋2
AE2＋AG2
AE
AM
DG2＋DC2＝5, ∴
10
四边形GEFC的周长的最小值＝GE＋EF＋FC＋CG＝10＋5 ＝6＋3
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8．(导学号 30042259)如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形．
(1)求点P的坐标；
(2)当a为多少时，四边形PMEF周长最小.
解：(1)∵y＝－x2＋4x＋5与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，5)，又∵M(0，1)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±
6，∵点P在第一象限，∴P(2＋
6，3)
(2)四边形PMEF的四条边中，PM，EF长度固定，因此只要ME＋PF最小，则PMEF的周长将取得最小值， 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)，连接PM2与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小，设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P(2＋
6，3)，M2(1，－1)代入得：
??（2＋6）m＋n＝3，?解得：??m＋n＝－1，
??4
?－46－1∴y＝??n＝5，
4m＝
6－4
，5
6－45
x－
46＋15
，当y＝0
时，解得x＝
6＋5
.∴F(46＋5
，0)，∵F(a＋1，0)，∴a＝46＋1
，∴a＝46＋1
时，四边4
形PMEF周长最小
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中考数学总复习 考点跟踪训练八 最值问题
