精选教案
最值问题
一、填空题
1.(导学号 30042252)在半⊙O中,点C是半圆弧AB的中点,点D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点,点P是直径AB上的动点,若AB=10,则PC+PD的最小值是__53__.
,第1题图) ,第2题图)
2.(导学号 30042253)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与⊙O交于G,H两点,若⊙O的半径为217,则GE+FH的最大值为____.
2
6
3.(导学号 30042254)如图,在反比例函数y=上有两点A(3,2),B(6,1),在直
x44线y=-x上有一动点P,当P点的坐标为__(,-)__时,PA+PB有最小值.
33点拨:设A点关于直线y=-x的对称点为A′,连接A′B,交直线y=-x为P点,此时PA+PB有最小值,∵A(3,2),∴A′(-2,-3),设直线A′B的直线解析式为y=kx+
?11?-3=-2k+b,
b,?解得k=,b=-2,∴直线A′B的直线解析式为y=x-2,联立
22??1=6k+b,
1
??y=2x-2,444444
解得x=,y=-,即P点坐标(,-),故答案为(,-) ?333333
??y=-x,
二、解答题
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4.(导学号 30042255)已知点M(3,2),N(1,-1),点P在y轴上,求使得△PMN的周长最小的点P的坐标.
解:作出M关于y轴的对称点M′,连接NM′,与y轴相交于点P,则P点即为所求,
?31?2=-3k+b,
设过NM′两点的直线解析式为y=kx+b(k≠0),则?解得k=-,b=-,
44??-1=k+b,
3111
故此一次函数的解析式为y=-x-,因为b=-,所以P点坐标为(0,-)
4444
5.(导学号 30042256)(2015·宁德)如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB 上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为多少.
解:作N关于AB的对称点N′,连接MN′,NN′, ON′,OM,ON,∵N关于AB的对称点为N′, ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点,∵N是弧MB的中点, ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°,
∴∠MON′=60°, ∴△MON′为等边三角形,∴MN′=OM=4, ∴△PMN周长的最小值为4+1=5
6.(导学号 30042257)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),
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C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴与x轴交于点H.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点,求△PBC周长的最小值.
解:(1)把A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点坐标代入y=ax2+bx+c中,a+b+c=0,a=-1,????
?9a-3b+c=0,解得?b=-2,即抛物线的解析式是y=-x-2x+3 ???c=3,?c=3,
2
(2)如图,△PBC
的周长=PB+PC+BC,∵BC是定值,∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小.A,B两点关于对称轴对称,连接AC,交对称轴于点P,点P即为所求,∵AP=BP,△PBC的最小周长=PB+PC+BC=AC+BC,∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),∴AC=3∴△PBC的最小周长=3
2+
10
2,BC=
10,
7.(导学号 30042258)小明在学习轴对称的时候,老师留了一道思考题:如图1,若点A,B在直线m的同侧,在直线m上找一点P,使得AP+BP的值最小,小明通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确方法,他的做法是这样的:(a)作点B关于直线m的对称点B′,(b)连接AB′与直线m交于点P,则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题:
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(1)如图2,在等边△ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),使得BP+PE的值最小,并求出最小值;
(2)如图3,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,G为边AD上的中点,若E,F为AB边上的两个动点,点E在点F的左侧,且EF=1,当四边形CGEF的周长最小时,请你在图3中确定点E,F的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),并求出四边形CGEF的周长的最小值.
解:(1)如答图2,作点E 关于AD的对称点F,交AC于点 F,连接BF,交AD 于点P,连接PE, 点P即为所求. 在等边△ABC中, AB=2,点E是AB 的中点,AD是高,∴F是AC的中点,∴BF⊥AC于点F, ∴BP+PE的最小值=BF=
22-12=
3 (2)如答图3,作点G关于AB的对称点M,在CD上截取CH=1,连接MH,交AB于点E,在BE上截取EF=1,连接CF,则E,F为所求,∵AB=4,BC=6, G为边AEAD上的中点,∴DG=GA=AM=3,∵AE∥DH,∴△MAE∽△MDH,∴=,∴=
DHDM33
,∴AE=1,∴在Rt△GAE,Rt△CBF,Rt△CDG中,分别由勾股定理得,GE=9=
12+32=
10,CF=
BF2+BC2=
22+62=2
10,CG=10+1+2
AE2+AG2
AE
AM
DG2+DC2=5, ∴
10
四边形GEFC的周长的最小值=GE+EF+FC+CG=10+5 =6+3
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8.(导学号 30042259)如图,抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.△PCM是以CM为底的等腰三角形.
(1)求点P的坐标;
(2)当a为多少时,四边形PMEF周长最小.
解:(1)∵y=-x2+4x+5与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,5),又∵M(0,1),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,∴点P的纵坐标为3,令y=-x2+4x+5=3,解得x=2±
6,∵点P在第一象限,∴P(2+
6,3)
(2)四边形PMEF的四条边中,PM,EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值, 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1),作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,-1),连接PM2与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小,设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(2+
6,3),M2(1,-1)代入得:
??(2+6)m+n=3,?解得:??m+n=-1,
??4
?-46-1∴y=??n=5,
4m=
6-4
,5
6-45
x-
46+15
,当y=0
时,解得x=
6+5
.∴F(46+5
,0),∵F(a+1,0),∴a=46+1
,∴a=46+1
时,四边4
形PMEF周长最小
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中考数学总复习 考点跟踪训练八 最值问题



