与圆的切线有关的计算与证明（1）
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．
图Z12－1 经典母题答图
【解析】 如答图，连结OC.
∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】
[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图Z12－2
解：(1)如答图①，连结AC，
∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；
中考变形答图① 中考变形答图②
(2)如答图②，连结AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】
[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. (1)求证：AP＝AB；
(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．
图Z12－3 中考预测答图
解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°， ∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，
∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO， ∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；
(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3， ∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3， ∴PO＝2.
在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25， 11
∵2PC·OH＝2OC·OP， OP·OC45PC＝5， 2285∴CH＝ OC－OH＝5， ∴OH＝
165
∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝5，
16565
∴BP＝BC－PC＝5－25＝5. 类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【经典母题】
已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在
圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．
图Z12－4 经典母题答图
证明：如答图，连结OB，
∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°， ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”． 【中考变形】
1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
图Z12－5 中考变形1答图
解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5， ∴由勾股定理，得AC＝4； (2)证明：如答图，连结OC， ∵AC是∠DAB的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA， 又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°， ∴直线CD是⊙O的切线．
2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
图Z12－6 中考变形2答图
【解析】 (1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE＝90°，从而得证；
(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解． 解：(1)证明：如答图，连结OD，CD. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. ∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点， 1
∴DE＝2BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°. ∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2， 即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6. 【中考预测】
如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC. (1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．
图Z12－7 中考预测答图
解：(1)证明：如答图，连结OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°，
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切； (2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.
∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°， ∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD， ∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，
∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形， 1
∴FH＝BH＝2BF＝1，∴HD＝DF2－FH2＝3，
在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2， ∴OD＝5.即⊙O的半径是5.
与圆的切线有关的计算与证明（2）
1.如图8，CD是⊙0的切线，切点为A,AB是⊙0的直径.E,F⊙0上的点,
C(1)求证：∠DAE=∠FDE(2)若EF图7⊙0的半径为1，过点A(2，0)的
F直线切
BOA ⊙0于点B，交y轴于点C. (1)求线段AB的长；
(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式．
3、在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F.
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE?23，求AC.
4.如图10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=23cm， （1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长
5 已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于
EDE，连结DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
C D B E F O A
与圆的切线有关的计算与证明
