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专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x2≥0，在实数范围既x∈R内恒成立
能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.
恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)2=0，在x=1时恰成立. 可以说恰成立时恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.
例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1 常见关键词列表如下： 问题类型 恒成立问题 关键词1 对任意，一切，所有 关键词2 恒成立，都成立，都有，总有，总是， 1 能成立问题 存在实数…使得，解集不是空集，有解 恰成立问题 18 19 解集是，值域是， 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： 20 21 fx?A（1）若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上??min， ?f(x)的下界大于A （2）若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 22 23 24 25 26 f?x?max?Bf(x),的上界小于A 类型一：一次函数类型—用一次函数的性质 对于一次函数f(x)?kx?b,x?[m,n]有： ?f(m)?0?f(m)?0 f(x)?0恒成立??,f(x)?0恒成立???f(n)?0?f(n)?027 28 类型二：二次函数类型—用二次函数的图像 设f(x)?ax2?bx?c(a?0)， （1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0； 29 30 （2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。 2 31 类型三：二次函数在闭区间上恒成立的问题：设f(x)?ax2?bx?c(a?0) （1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立 32 33 b?b??b??????????????， ??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?034 ?f(?)?0f(x)?0在x?[?,?]上恒成立?? f(?)?0??f(?)?0（2）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立?? f(?)?0?35 36 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立 b?b??b?????????????? ??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?037 38 39 40 41 42 类型四：分离变量法 f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min?? f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。 类型五：数形结合法 1）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 43 2）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 恒成立问题解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法（分离常数法）、数形结合等解题方法求解。 例题： 例1、（1）对任意a?[?1,1]，不等式x2?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求x的取值范围。 解：分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x?2)a?x2?4x?4?0在a?[?1,1]上恒成立的问题。 令f(a)?(x?2)a?x2?4x?4，则原问题转化为f(a)?0恒成立（a?[?1,1]）。 当x?2时，可得f(a)?0，不合题意。 54 ?f(1)?0当x?2时，应有?解之得x?1或x?3。 f(?1)?0?故x的取值范围为(??,1)?(3,??)。 例1、已知函数f?x?的定义域为R，求实参数k的取值范围： （1）y?lg[x2?(k?1)x?k2] （2）f?x??loga?2x2?4kx?1?k?； （3）f?x??2x2?4kx?1?k； （4）f?x??loga?kx2?4kx?1?k?； 解：（1）由题设可将问题转化为不等式x2?(k?1)x?k2?0对x?R恒 55 56 57 58 59 4 60 61 成立，即有??(k?1)2?4k2?0解得k??1或k?1围为(??,?1)?(,??)。 31。所以实数k的取值范362 （2）f?x?的定义域为R?关于x的不等式2x2?4kx?1?k?0的解集为 1?1?，∴ k???1,?。 2?2?63 R?16k2?8?1?k??0??k?1??2k?1??0??1?k?64 （3）f?x?的定义域为R?关于x的不等式2x2?4kx?1?k?0的解集为R 1?1?，∴ k???1,?。 2?2?65 ?16k2?8?1?k??0??k?1??2k?1??0??1?k?66 （4）f?x?的定义域为R?关于x的不等式kx2?4kx?1?k?0的解集为R 11k?0?1?? 或，∴ k?0,??k?00?k??0?k?2?16k?4k1?k?055???5? ?67 ?k?0或?68 二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上 69 70 71 72 73 74 f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的 f?x?min?B. 2例3、若关于x的不等式x?ax?a??3的解集不是空集，则实数a的取值范 围是 ． 5
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