设BC＝DC＝xm，
∵在Rt△ACD中，∠1＝30°， ∴∴
，
，
∵AC﹣BC＝220， ∴解得
，
．
∵DE＝DC+CH﹣EH，CH＝1，EH＝15， ∴
（m）．
故电子显示屏DE的高度约为286m．
21．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．如果购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个键子共需120元．
（1）求跳绳和毽子的售价分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【分析】（1）跳绳的售价为x元，毽子的售价为y元，根据“购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个键子共需120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购进m根跳绳，则购进（400﹣m）个毽子，根据学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍且跳绳的数量不多于310根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 解：（1）设跳绳的售价为x元，毽子的售价为y元， 依题意，得：解得：
．
，
答：跳绳的售价为20元，毽子的售价为16元． （2）设学校购进m根跳绳，则购进（400﹣m）个毽子，
21
依题意，得：解得：300≤m≤310．
，
设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，
则w＝20×0.8m+16×0.75（400﹣m）＝4m+4800， ∵4＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝300时，w取最小值，此时400﹣m＝100．
∴学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳300根，毽子100个．
22．如图，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0）．
（1）求点B的坐标，并用含a的式子表示k；
（2）连接CA，CB，当∠ACB为锐角时，求a的取值范围；
（3）若P（0，b）为y轴上一个动点，连接PA，当点C的坐标为（0，﹣3接写出PC+PA的最小值．
）时，直
【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝1，A，B关于对称轴对称可得点B坐标，把点A的坐标代入抛物线的解析式可得a与k的关系．
（2）解法一：当∠ACB＝90°时，利用相似三角形的性质求出OC的长即可解决问题． 解法二：当x＝0时，y＝﹣3a，当∠ACB＝90°时，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题．
（3）如图，过点A作AH⊥BC于H，过点P作PJ⊥BC于J．在Rt△BOC中，由
，推出∠OCB＝30°，∠ABC＝60°推出
，在Rt△PCJ中，PJ＝PC，推出AP+PC＝AP+PJ，推出当A，
P，J共线且⊥BC时，AP+PC的值最小，即
的最小值为点A到BC的距离AH．
22
解：（1）∵y＝a（x﹣1）2+k的图象的对称轴为x＝1， 又该函数图象过点A（﹣1，0）， ∴由对称性可知点B的坐标为（3，0）， 把x＝﹣1，y＝0代入，得0＝a（﹣1﹣1）2+k， 故k＝﹣4a．
（2）解法一：当∠ACB＝90°时，∵∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°， ∴∠ACO＝∠CBO， ∴△ACO∽△CBO， ∴
＝
∴OC2＝OA?OB＝3， ∵C（0，﹣3a）， ∴9a2＝3， ∴a＝OC＝
或﹣
（舍弃），
∵∠ACB是锐角， ∴OC＞
．
∴a的取值范围为
解法二：当x＝0时，y＝﹣3a，
∴当∠ACB＝90°时，AC2+BC2＝AB2，即（1+9a2）+（9+9a2）＝42， 解得∴a取
，
，
当∠ACB＝90°时，则AC2+BC2＞AB2， ∴
（3）如图，过点A作AH⊥BC于H，过点P作PJ⊥BC于J．
．
23
在Rt△BOC中，∵
∴∠OCB＝30°，∠ABC＝60° ∴
，
，
在Rt△PCJ中，PJ＝PC， ∴AP+PC＝AP+PJ，
∴当A，P，J共线且⊥BC时，AP+PC的值最小，即的距离AH，
∴AP+PC的最小值为2
．
的最小值为点A到BC
23．在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．
（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；
（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值； （3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．
【分析】（1），连接OP，点P，O的距离最小时即OP⊥CD时，由勾股定理求得AB的长，由面积法求得CD的长，则由垂径定理可得PD的长；
（2）连接CE，利用有两个角相等的三角形相似，可证△ACE∽△AFC，从而可得比例
24
式，按照正切函数的定义可得tanF的值；
（3）以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，则由点H总在⊙G上可知当点C，H，G 在一条直线上时，CH最小，则由勾股定理求得CG的长，再减去GH的长，可得答案．解：（1）如图1，连接OP，
∵AC切⊙O于点C， ∴AC⊥BC． ∵BC＝30，AC＝40， ∴AB＝50． 由， 即
，
解得CD＝24，
当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时．
（2）如图2，连接CE，
∵EF为⊙O的直径， ∴∠ECF＝90°．
25
广东省深圳市光明区2020年中考数学一模试卷(含解析)
