10．如图，两个三角形纸板△ABC，△MNP能完全重合，∠A＝∠M＝50°，∠ABC＝∠N＝60°，BC＝4，将△MNP绕点C（P）从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边MN，MP分别与BC，AB交于点H，Q（点Q不与点A，B重合），点O是△BCQ的内心，若∠BOC＝130°，点N运动的路径为
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2 B．2π﹣4 C． D．
【分析】先求得旋转角为30°，进而证得△CHN是含30°的直角三角形，解直角三角形求得直角边，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式求得即可． 解：设旋转角为α，则∠BCN＝∠ACM＝α， ∵∠A＝∠M＝50°，∠ABC＝∠N＝60°， ∴∠ACB＝∠MPN＝70°， ∴∠BCM＝70°﹣α， ∵点O是△BCQ的内心， ∴∠BCO＝∠BCM＝35°﹣∵∠BOC＝130°， ∴35°﹣
+30°+130°＝180°，
，
＝30°，
解得α＝30°， ∴∠BCN＝30°， ∵∠N＝60°， ∴∠CHN＝90°， ∴NH＝CN＝∴S△CNH＝
＝2，CH＝＝2
，
﹣2
＝π﹣2
，
CN＝
×4＝2
，
∴S阴影＝S扇形BCN﹣S△CHN＝故选：D．
11
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①bc＞0； ②3a+c＞0； ③a+b+c≤ax2+bx+c；
④a（k12+1）2+b（k12+1）＞a（k12+2）2+b（k12+2）． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象的性质即可求解．
解：①由图象可以看出，a＜0，b＞0，c＞0，故bc＞0，正确，符合题意； ②函数的对称轴为x＝1＝﹣
，即b＝﹣2a，
根据函数的对称轴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， 故3a+c＜0，故②错误，不符合题意；
③抛物线在x＝1时，取得最大值，即a+b+c≥ax2+bx+c， 故③错误，不符合题意；
④x＝k2+1≥1，而在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵
+1＜
+2，
∴a（k12+1）2+b（k12+1）+c＞a（k12+2）2+b（k12+2）+c，
故a（k12+1）2+b（k12+1）＞a（k12+2）2+b（k12+2）正确，符合题意； 故选：B．
12．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法： ①∠EAF＝45°；
②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形； ③△AMN～△AFE；
12
④若BE＝2，FD＝3，则MN的长为．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF＝∠BAD＝45°；
②由旋转知：∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，由旋转知：∠ABH＝∠ADB＝45°，HB＝ND，所以∠HBM＝∠ABH+∠ABD＝90°，所以MH2＝HB2+ND2，所以MN2＝MB2+ND2；根据全等三角形的方法指定△ABM≌Rt△AGM．得出MG＝MB，同理NG＝ND，即可证得MN2＝NG2+MG2，根据勾股定理的逆定理即可证得△MGN为直角三角形； ③通过证得∠AFE＝∠AMN，根据∠EAF＝∠NAM，即可证得△AMN～△AFE； ④通过勾股定理求得正方形的边长，进而求得斜边上的高AH，然后根据相似三角形的性质即可证得MN＝
．
解：①在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）． ∴∠BAE＝∠GAE，BE＝EG， 同理，∠GAF＝∠DAF，GF＝DF， ∴∠EAF＝∠BAD＝45°， 故①正确；
②连将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，得到图②，连接HM， 由旋转知：∠BAH＝∠DAN，AH＝AN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°，
13
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠HAM＝∠BAM+∠BAH＝45°， ∴∠HAM＝∠NAM， 又AM＝AM，
∴△AHM≌△ANM（SAS）， ∴MN＝MH
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°
由旋转知：∠ABH＝∠ADB＝45°，HB＝ND， ∴∠HBM＝∠ABH+∠ABD＝90°， ∴MH2＝HB2+BM2， ∴MN2＝ND2+BM2 ∵Rt△ABE≌Rt△AGE， ∴∠BAM＝∠GAM． 在△ABM和△AGM中，
，
∴△ABM≌Rt△AGM（SAS）． ∴MG＝MB， 同理NG＝ND， ∴MN2＝NG2+MG2 ∴△MGN为直角三角形， 故②正确；
③∵∠AEB+∠BME+∠DBC＝180°，∠AEF+∠AFE+∠EAF＝180°∵∠DBC＝∠EAF＝45°，∠AEB＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠BME， ∴∠AFE＝∠AMN， ∵∠EAF＝∠NAM， ∴△AMN～△AFE， 故③正确；
14
④∵BE＝EG，GF＝FD，BE＝2，FD＝3， ∴EF＝EG+FG＝5，
设正方形的边长为a，则EC＝a﹣2，FC＝a﹣3， ∵EF2＝EC2+FC2，
∴52＝（a﹣2）2+（a﹣3）2， 解得a＝6， ∴AB＝AD＝6， ∴BD＝6
，
作AH⊥BD于H，则AH＝3，
∵△AMN～△AFE， ∴
＝
，
∵AG＝AB＝6， ∴
＝
， ∴MN＝，
故④正确．
综上正确结论的个数是4个， 故选：A．
二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ x（x﹣3）2 ．
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广东省深圳市光明区2020年中考数学一模试卷(含解析)
