真理是时间的孩子，不是权威的孩子。 —— 布莱希特
第四讲
分数应用题之工程问题
教学目标 工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。 1. 2. 3.
工程问题的基本数量关系与一般解法； 工程问题中的常见解题方法；
工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。
经典精讲 工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。
1. 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，
表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。
2. 利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，
和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。
有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。
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基本题型
【例1】 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲
继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天?
【分析】
1441?16?，还有1??，是乙做的，乙干了了20555111??1，休息了16?6?10（天），请假天数为：。 16??1??16???16?6?10（天）??6（天）
2030530??114（法二）假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成(?)?16?，
203034111超过单位“1”的?1?，则乙请假?。 ?10（天）
33330（法一）甲一共干了16天，完成了
【前铺】搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
111【分析】⑴甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：2?(??)?8小时。
1012151??1⑵丙帮助甲搬运了?1??8???3小时。
?10?15⑶丙帮乙搬运了8?3?5小时。
【例2】 甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加
1，如果让4甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？
【分析】
1??111?????18天， 三队合做完成二项工程所用的天数?1?1?????4??202430???11?1?15天。 丙帮乙队做的天数：?1???18???424?30
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技巧与方法
一、
代换法
【例3】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6
小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？
【分析】
根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6
小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一
111池水。可以计算出乙单独灌水的工作量为1??2??2?，所以乙的工作效率为
5410111，所以整池水由乙管单独灌水，则需要1?。 ?(6?2?2)??20（小时）
102020
【巩固】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做，
还要几天才能完成？
【分析】（法一）两队合做2天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做
4161610的部分相当于甲做的4天，所以乙做了4??天，除去与甲合作的2天，以还要做?2?3333天。
111（法二）甲的工作效率为，所以乙的工作效率为?3?4?。两队合作2天后乙队独做还
6681?110?1要?1??2??2???天才能完成。
8?83?6
【例4】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8
天可完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
【分析】
本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：
从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工
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作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，
1通过此替换可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是。又因为乙
244141工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，??，甲、
524530111乙合作这一工程需用的时间为1?(?)?13 (天)。
24303
【例5】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替
甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，LL，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
【分析】
①若甲、乙两人合作共需多少小时？
51?11?1?????1??7（小时）。
365?1218?②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 351?11?1?7?????1??。
3636?1218?1③余下的由甲独做需要多少小时？
36111??（小时）。 3612311④共用了多少小时？7?2??14（小时）。
33注：在工程问题中，转换条件是常用手法。“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了。
【例6】 某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这
项工作。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？
【分析】
1111 ，交换工人A和B后效率减少，交换工人C和D后效率??101011110111111101增加??，同时交换工人A和B，C和D后效率变为，所需时间???10110909909109010181为：1?。 ?9990101最初的效率为
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【例7】 有一个敞口的立方体水箱，在其侧高线的三等分处开两个排水孔A和B，已知两孔的排水速度
相同且保持不变，现在从水箱上面匀速流水，如果打开A孔关闭B孔，那么经过14分钟可将水箱注满，如果关闭A孔，打开B孔，则需要16分钟，才能将水箱注满，如果将两孔都打开，经过 分钟才能将水箱注满。
【分析】
(法一)设进水管速度为
11，排水速度为,则有：
yx?211?11?????????14LLLL?1??3x3?xy? ????1?1?2?1?1?16LLLL?2??3x3?xy????本题解这样的方程组有技巧：
?11?111把???看作未知数，⑵式×2-⑴，得??LLLL?3?
xy18?xy?⑶式代入⑴或者⑵，都可得到x?12，
从而再代入⑶，得y?36.
所以打开A孔和B孔,则需要 111?11?1?11????????????2??22（天）。 3123?1236?3?1236?
二、
比例法
【例8】 打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、
乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？
【分析】
根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合
做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时
3间比甲多3+2=5天。乙独做的天数是：(3?2)?， ?15（天）
3?2?11?甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需1?????6（天）。
?1015?注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。其实这一点是与工程习惯无关的。
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