高中数学课时跟踪检测（十）复数代数形式的乘除运算（含解析）
新人教A选修12
一、选择题
1．(辽宁高考)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( ) A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i
D．3－2i
解析：选A z＝52－i＋2i＝5(2＋i)
(2－i)(2＋i)＋2i＝2＋i＋2i
＝2＋3i.
2．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1
＝( )
A．2i B．－2i C．2
D．－2
解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以z2－2z(1－i)2－2(1－i)－2z－1＝1－i－1＝－i
＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，
而z2－2z(z－1)2－1(－i)2z－1＝z－1＝－1－i
＝2
i
＝－2i. 3．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i
的点是( )
A．E B．F C．G
D．H
解析：选D 由题图可得z＝3＋i，
所以z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2
＝2－i，
则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
4．(安徽高考)设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( A．1＋i
B．1－i
)
C．－1＋i D．－1－i
解析：选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi， 又z·zi＋2＝2z，∴(a＋b)i＋2＝2a＋2bi， ∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
3＋i
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( ) 2
(1－3i)1A. 4C．1
3＋i
解析：选A ∵z＝ 2
(1－3i)－3i＋ii(1－3i)＝＝ 22
(1－3i)(1－3i)＝
i(1＋3i)＝
41－3i3i
＋， 44
3i－， 44i
2
2
2
1B. 2 D．2
＝－∴z＝－
1
∴z·z＝.
4二、填空题
1－i2 012102
6．若z＝－，则z＋z＝________.
2
?－1－i?2
解析：z＝??＝－i.
2??
2
z2 012＋z102＝(－i)1 006＋(－i)51
＝(－i)
1 004
·(－i)＋(－i)·(－i)
2483
＝－1＋i. 答案：－1＋i
xy5
7．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
1－i1－2i1－3i
解析：＋＝
1－i1－2i
xyx(1＋i)y(1＋2i)
2
＋5
?xy??x2y?＝?＋?＋?＋?i， ?25??25?
而
55(1＋3i)13
＝＝＋i， 1－3i1022
xy1x2y3所以＋＝且＋＝，
252252
解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4. 答案：4
8．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________． 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i. 因为z2的实部是－1，即a－b＝－1， 所以z2的虚部为1. 答案：1 三、解答题
(1＋2i)＋3(1－i)9．计算：(1)；
2＋i1－3i(2). 2
(3＋i)
(1＋2i)＋3(1－i)－3＋4i＋3－3i
解：(1)＝
2＋i2＋i＝
ii(2－i)12
＝＝＋i. 2＋i555
2
2
1－3i(3＋i)(－i)(2)＝ 22
(3＋i)(3＋i)＝
－i
(－i)(3－i)
＝
43＋i
13
＝－－i.
44
x5y10．已知z1＝1－i，z2＝1－3i，z3＝1－2i，且－＝.
z1z2z3
(1)求实数x，y的值； (2)求z1·z2.
x5y解：(1)由已知－＝，
z1z2z3
得
5y－＝， 1－i1－3i1－2i
x
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