2013中考全国100份试卷分类汇编
圆的综合题
1、（2013?温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作
，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=
，则S3﹣S4的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：圆的认识 分析： 首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论． 解答：解：∵AB=4，AC=2，
∴S1+S3=2π，S2+S4=∵S1﹣S2=
，
，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=π ∴S3﹣S4=π，
故选D． 点评： 本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．
2、（2013?孝感）下列说法正确的是（ ） A． 平分弦的直径垂直于弦 B． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C． 相等的圆心角所对的弧相等 D． 若两个圆有公共点，则这两个圆相交
考点：圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 分析：利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可 解答：解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误， 故选B． 点评：本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定
理是解决本题的关键．
3、（2013?温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF﹣FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是 18cm、31cm ．
考点：圆的综合题 分析：如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′，设圆孔
半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得r=16（cm）．根据题意知，圆心O在矩
形EFGH的对角线上，则KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm）． 解答： 解：如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′．
设圆孔半径为r．
在Rt△KBG中，根据勾股定理，得
BG2+KG2=BK2，即（130﹣50）2+（44+r）2=1002， 解得，r=16（cm）．
根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则
KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm． ∴QN′=KN′﹣KQ=42﹣16=26（cm），KM′=49（cm）， ∴CN=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），
∴AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm）， 综上所述，CN，AM的长分别是18cm、31cm． 故填：18cm、31cm．
点评：本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及
圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
4、（2013四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足
=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：
；④S△DEF=4
．
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=
其中正确的是 ①②④ （写出所有正确结论的序号）．
考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理． 分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：而证得△ADF∽△AED； ②由
=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
；
=
，DG=CG，继
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=
④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4
．
解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴
=
，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； 故①正确； ②∵
=，CF=2，
∴FD=6， ∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4， ∴FG=CG﹣CF=2； 故②正确； ③∵AF=3，FG=2， ∴AG=
=
，
=
，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=∴tan∠E=故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD=∴S△ADF=DF?AG=×6×∵△ADF∽△AED， ∴
=（
）2，
=3
，
；
=，
∴=，
，
；
∴S△AED=7
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4故④正确．
故答案为：①②④．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5、(2013年武汉)如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC?3AP； （2）如图②，若sin?BPC?
APOB?24，求tan?PAB的值． 25APOCB第22题图①C第22题图②
解析：
（1）证明：∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．
又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB＝60°，∵点P是弧AB的中点，∴∠ACP＝30°，
又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝3AP．
（2）解：连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC． ∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．
∵点P是弧AB中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF． ∵∠BPC＝∠FOC，
24．
A25设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，
PG∴OF＝7a，AF＝32a．
E 在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，∴AC＝40a．
OEGFC在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝， ?BCFAEACEG24a∴，∴EG＝12a． ?32a?EG40a第22（2）题图EF12a1∴tan∠PAB＝tan∠PCB=??．
CF24a2 6、（2013?常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为 45°或135° ； （2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．
∴sin∠FOC＝sin∠BPC=
中考数学分类汇编圆的综合题
