2020全国高中数学联赛《不等式》专题真题汇编

2020全国高中数学联赛《不等式》专题真题汇编

【解析】证明：首先证明一个不等式：

x?ln(1?x)?x1?x⑴，x?0． 事实上，令h(x)?x?ln(1?x)，

h?(x)?1?g(x)?ln(1?x)?x1?x．

则对x?0，

11x1?g(x)????0?0221?x(1?x)(1?x)1?x，．

x?1n得

于是h(x)?h(0)?0，g(x)?g(0)?0．在⑴中取1?1?1?ln?1????n?n． ⑵n?1 19、设

P0,P1,P2,L,Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0)

dnP0P?PP?LPP?()(n?1)!1020n3求证： dnP0P?PP?LPP?()(n?1)!1020n3因而

证法二: 不妨设

P0P1?P0P2?L?P0Pn.

dP(i?0,1,2,L,k)以i为圆心,2为半径画k?1个圆,它们两两相离或外切，

设Q是是圆

Pi上任意一点,由于

P0Q?P0Pi?PQ?P0Pi?id13?P0Pk?P0Pk?P0Pk222

3P0PkP0因而,以为圆心, 2为半径的圆覆盖上述个圆

故

?(P0Pk)2?(k?1)?()2?P0Pk?32d2dk?1(k?1,2,L,n)3

dnP0P?PP?LPP?()(n?1)!1020n3所以