2020全国高中数学联赛《不等式》专题真题汇编

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1、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．

Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定 【答案】A

49

2、已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是（ ）

4－x29－y28241212(A) 5 (B) 11 (C) 7 (D) 5 【答案】D

1

3、不等式log2x－1+2log1x3+2>0的解集为（ ）

2

A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] 【答案】C

3

【解析】令log2x=t≥1时，t－1>2t－2．t∈[1，2)，?x∈[2，4)，选C． 4、使关于x的不等式x?3?6?x?k有解的实数k的最大值是（ ） A．6?3 B．3 C．6?3 D．6 【答案】D 5、设

logx(2x2?x?1)?logx2 ?1，则x的取值范围为（ ）

11?x?1x?,且 x?12A．2 B． C． x?1 D． 0?x?1

【答案】B

6、设实数a使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ）

1111[?,][?,]33 B. 22 A.

【答案】A

11[?,]43 D. [?3，3] C.

x?【解析】令

12a|a|?3，则有3，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。

x?341ka|a|?|k?1|?|a|?|k?|?|a|22，则原不等式为23，由此易

一般地，对k∈R，令

34|a|?|k?1|?|k?|23，对任意的k∈R成立。由于知原不等式等价于

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4?5k?3k??23?34?14|k?1|?|k?|??1?k1?k?23?23?3?5kk?1??2，

3411min{|k?1|?|k?|}?|a|?233，从而上述不等式等价于3。 所以k?R

13?2?log1x27、不等式

2的解集为 。

?y≥0

?

?y≤x?y≤2?x?

9、在坐标平面上有两个区域M和N，M为

，N是

y随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t?1所确定，t的取值范围

A是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数【答案】

【解析】由题意知

?t2?t?12

f?t?? ．

OCDFEBxf?t??S阴影部分面积?S?AOB?S?OCD?S?BEF

1112?1?t2??1?t???t2?t?222

1111??L??a?20072n?13对一切正整数n都成立的最小正整数a的10、使不等式n?1n?2值为 ．

【答案】2009 【解析】设

f?n??111??L?n?1n?22n?1．显然f?n?单调递减，则由f?n?的最大值

f?1??a?200713，可得a?2009．

11??2223a,bab11、设为正实数，，(a?b)?4(ab)，则logab? ．

12、设

x,y,z?[0,1]，则M?|x?y|?|y?z|?|z?x|的最大值

是 .

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13、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。 3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD

S1? 若记

1?i?j?4?RRij,

S2?i1?i?j?k?4?RRRjk，则S1、S2为定值，于是

RCD?S2?R1R2R3S1?R3R4

只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小

4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小． 而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1， 这就说明，要证结论成立

3

14、设2≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．

1

15、由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥2q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．

【解析】证明：设点集为V＝{A0，A1，…，An－1}，与Ai连线的点集为Bi，且|Bi|＝bi．于是1≤bi≤n－1．又显然有 n－1

∑bi＝2l≥q(q+1)2+2． i＝0

若存在一点与其余点都连线，不妨设b0＝n－1．

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则B0中n－1个点的连线数

1

l－b0≥2q(q+1)2+1－(n－1) (注意：q(q+1)＝q2+q＝n－1) 11

＝2(q+1)(n－1)－(n－1)+1＝2(q－1)(n－1)+1 11

≥2(n－1)+1≥[2(n－1)]+1．(由q≥2)

n－1

但若在这n－1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n－1个点内至多连线[2]条，故在B0中存在一点Ai，它与两点Aj、Ak(i、j、k互不相等，且1≤i，j，k)连了线，于是A0、Aj、Ai、Ak连成四边形．

现设任一点连的线数≤n－2．且设b0＝q+2≤n－2．且设图中没有四边形．于是当i≠j时，－

Bi与Bj没有公共的点对，即|Bi∩Bj|≤1(0≤i，j≤n－1)．记B0＝V\\B0，则由|Bi∩B0|≤1，得－－－|Bi∩B0|≥bi－1(i＝1，2，…，n－1)，且当1≤i，j≤n－1且i≠j时，Bi∩B0与Bj∩B0无公共点对．从而

(n－1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)．(n－1≥q(q+1)代入)

得 q(q+1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)．(各取一部分因数比较) ①

但(nq－q－n+3－b0)－q(n－b0－1)＝(q－1)b0－n+3(b0≥q+2)≥(q－1)(q+2)－n+3＝q2+q+1－n＝0．②

(nq－q+2－b0)－(q+1)(n－b0)＝qb0－q－n+2≥q(q+1)－n+2＝1＞0． ③

又(nq－q－n+3－b0)、(nq－q+2－b0)、q(n－b0－1)、(q+1)(n－b0)均为正整数，

从而由②、③得， q(q+1)(n－b0)(n－b0－1)＜(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)． ④

由①、④矛盾，知原命题成立．

又证：画一个n×n表格，记题中n个点为A1，A2，…，An，若Ai与Aj连了线，则将表格中第i行j列的方格中心涂红．于是表中共有2l个红点，当d(Ai)＝m时，则表格中的i行及i列各有m个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红．

由已知，表格中必有一行有q＋2个红点．不妨设最后一行前q＋2格为红点．其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点．

若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n－1行的前q＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n行及前q＋2列，则至多去掉q＋2＋(n－1)＝q＋2＋q2＋q＝(q＋1)2＋1个红点．于是在余下(n－1)×(n－q－2)方格表中，至少有

2l－(q＋1)2－1＝q(q＋1)2＋2－(q＋1)2－1＝(q－1)(q＋1)2＋1＝q3＋q2－q个红点． n－1

设此表格中第i行有mi(i＝1，2，…，n－1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝∑

i＝12 ．其中n－1＝q2＋q．(由于当n＞k时，C2＋C2＜C2 ＋C2 ，故当红点总数 Cmnkn＋1k－1i

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16、解不等式

log2(x12?3x10?5x8?3x6?1)?1?log2(x4?1)1?log2(x4?1)?log2(2x4?2)，且

．

在(0,??)上为增函数，故原不

【解析】方法一：由等式等价于

log2yx12?3x10?5x8?3x6?1?2x4?2．

1210864即 x?3x?5x?3x?2x?1?0．

12108分组分解 x?x?x

1086 ?2x?2x?2x

864 ?4x?4x?4x

642 ?x?x?x 42 ?x?x?1?0，

(x8?2x6?4x4?x2?1)(x4?x2?1)?0，

(x2??1?52?1?5?1?5)(x?)?0x2?222。所以，即

5?1,25?1)2．

42所以x?x?1?0，

??1?5?1?5?x?(?22．故原不等式解集为1?log2(x4?1)?log2(2x4?2)，且

方法二： 由

log2y在(0,??)上为增函数，故原不等式等

17、求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值． 【解析】函数的定义域为

13??0，.因为

y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x?≥27?13?33?13

当x?0时等号成立．故y的最小值为33?13． 又由柯西不等式得 y?2?x?x?27?13?x?21??1≤??1???2x??x?27??3?13?x???1213? ?2

所以y≤11．

由柯西不等式等号成立的条件，得立．因此y 的最大值为11．

4x?9?13?x??x?27，解得x?9．故当x?9时等号成

1?nk??1???2?lnn≤?2，n?1，2，… k?1k?1??18、求证不等式：

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【解析】证明：首先证明一个不等式：

x?ln(1?x)?x1?x⑴，x?0． 事实上，令h(x)?x?ln(1?x)，

h?(x)?1?g(x)?ln(1?x)?x1?x．

则对x?0，

11x1?g(x)????0?0221?x(1?x)(1?x)1?x，．

x?1n得

于是h(x)?h(0)?0，g(x)?g(0)?0．在⑴中取1?1?1?ln?1????n?n． ⑵n?1 19、设

P0,P1,P2,L,Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0)

dnP0P?PP?LPP?()(n?1)!1020n3求证： dnP0P?PP?LPP?()(n?1)!1020n3因而

证法二: 不妨设

P0P1?P0P2?L?P0Pn.

dP(i?0,1,2,L,k)以i为圆心,2为半径画k?1个圆,它们两两相离或外切，

设Q是是圆

Pi上任意一点,由于

P0Q?P0Pi?PQ?P0Pi?id13?P0Pk?P0Pk?P0Pk222

3P0PkP0因而,以为圆心, 2为半径的圆覆盖上述个圆

故

?(P0Pk)2?(k?1)?()2?P0Pk?32d2dk?1(k?1,2,L,n)3

dnP0P?PP?LPP?()(n?1)!1020n3所以