he(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),0]?1
又因为
he(n)?he(?n)
所以
?1,n?0?he(n)??0.5an,n?0
?0.5a?n,n?0??1,n?0??he(n),n?0???h(n)??2he(n),n?0??an,n?0??anu(n)
?0,n?0?0,n?0????H(e)??ane?jwn?jwn?0?1
1?ae?jw
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 （2）x(n)??(n)；
（4）x(n)?Rm(n),0?m?N； （6）x(n)?cos(2?nm),0?m?N； N（8）x(n)?sin(w0n)?RN(n)； （10）x(n)?nRN(n)。 解：
（2）X(k)???(n)W???(n)?1,k?0,1,?,N?1
knNn?0n?0N?1N?1（4）X(k)??Wn?0N?1knN1?W?1?WkmNkN?e?j?Nk(m?1)sin(?Nmk)m)sin(2??N,k?0,1,?,N?1
1N?1jN(m?k)n1N?1?jN(m?k)n??e??e2n?02n?02?2?j(m?k)N?j(m?k)N??1?1?eN1?eN? ??2?2???j(m?k)?j(m?k)2N1?eN???1?e??1?,k?m且k?N?m??N,0?k?N?1??0,k?m或k?N?m2?N?1?jmn?jkn1jNmn?2??knN（6）X(k)??cos?mn??WN??(e?e)eN
?N?n?0n?02N?12?2?2?（8）解法1 直接计算
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?N?1n?01jw0ne?e?jw0nRN(n) 2j??knX8(k)??x(n)WN?jkn1N?1jw0n?jw0n??e?eeN 2jn?0??2?2?2???1N?1?j（w0?N）n?j（w0?N）n?1?1?ejw0N1?ejw0N???e? ????e2?2?j(w0?k)j(w0?k)?2jn?0?2j??NN1?e?1?e?解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为
x7(n)?ejw0nRN(n)??cos(w0n)?jsin(w0n)?RN(n)
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?Im?x7(n)?
所以
DFT?jx8(n)??DFT?jIm?x7(n)???X70(k)
即
X8(k)??jX70(k)??j1?X7(k)?X7(N?k) 2??????1?1?ejw0N1?ejw0N1?1?ejw0N1?ejw0N?????()??()2?2?2?2?j(w0?k)j(w0?(N?k)j(w0?k)j(w0?k)?2j??2j?NNNN1?e1?e?1?e??1?e?结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 （10）解法1
knX(k)??nWNn?0N?1k?0,1,?,N?1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)?nRN(n)
所以 x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n) 等式两边进行DFT得到
kX(k)?X(k)WN?N?N?(k)
故 X(k)?N[?(k)?1],k?1,2?,N?1 k1?WN当k?0时，可直接计算得出X（0）
N(N?1)X(0)??n?W??n?
2n?0n?00NN?1N?1这样，X（k）可写成如下形式：
?N(N?1),k?0?2? X(k)???N?,k?1,2?,N?1k??1?WN解法2
k?0时，
X(k)??n?n?0N?1N(N?1) 2k?0时，
k2k3k(N?1)kX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?1)WNkn2k3k4k(N?1)kWNX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?2)WN?(N?1)
X(k)?WX(k)??WknNn?1N?1knNkn?(N?1)??WN?1?(N?1)??Nn?0N?1所以，
X(k)??N,k?0 k1?WN即
?N(N?1),k?0?2? X(k)???N?,k?1,2?,N?1k?1?WN?2. 已知下列X(k)，求x(n)?IDFT[X(k)];
?Nj??2e,k?m?N?j?（1）X(k)???e,k?N?m;
?2?0,其它k???Nj???2je,k?m?N?j?（2）X(k)???je,k?N?m
?2?0,其它k??解： （1）
=
1x(n)?IDFT[X(k)]?N1??e2?2?j(mn??)N?Wn?0N?1?knN1?N?2?mn?Nj?j2NN?j?jN(N?m)n??ee?ee?22???e2??j(mn??)N?2??cos(mn??),n?0,1,?N?1?N?
（2）
x(n)?1N?Nj??mnN?j??(N?m)n??jeWN?eWN ??2?2?2?2?1?j(Nmn??)?j(Nmn??)?2??e?e?sin(mn??),n?0,1,?N?1 ??2j?N?3. 长度为N=10的两个有限长序列
?1,0?n?4?1,0?n?4 x2(n)?? x1(n)????1,5?n?9?0,5?n?9作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)。 解：
x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。
14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为:
x(n)?0,n?0,8?n
y(n)?0,n?0,20?n对每个序列作20点DFT,即
X(k)?DFT[x(n)],k?0,1,L,19
Y(k)?DFT[y(n)],k?0,1,L,19如果
F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,L,19
f(n)?IDFT[F(k)],k?0,1,L,19试问在哪些点上f(n)?x(n)*y(n)，为什么？ 解：
《数字信号处理》第三版课后习题答案
