16. 已知:
X(z)?32 ?1?11?2z?11?z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：
三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时，
x(n)??X(Z)z2?j?c1n?1dz
令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1?z?zn ?1?1(1?0.5z)(1?2z)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；
n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留
数，圆外极点有z1?0.5,z2?2，那么
x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2](5z?7)zn(5z?7)zn ?(z?0.5)z?0.5?(z?2)(z?0.5)(z?2)(z?0.5)(z?2)1 ??[3g()n?2g2n]u(?n?1)2z?2
（2）当收敛域0.5?z?2时，
(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?3g()n
2n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留
数，c外极点只有一个，即2，
x(n)??Res[F(z),2]??2g2nu(?n?1)
最后得到x(n)?3g(12)nu(n)?2g2nu(?n?1) （3）当收敛域2?z时，
F(z)?(5z?7)zn(z?0.5)(z?2) n?0，C内有极点0.5，2；
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3g(1)n?2g2n2
n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
x(n)?[3g(12)n?2g2n]u(n)
17. 已知x(n)?anu(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）a?nu(?n)的z变换。 解：
（1）X(z)?ZT[anu(n)]?anu(n)z?n?11?az?1,z?a n?????（2）ZT[nx(n)]??zdaz?1dzX(z)?(1?az?1)2,z?a （3）ZT[au(?n)]??az??anzn??n?n?nn?0n?0???1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求：
2?5z?1?2z?2（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。 解：
x(n)?12?jn?1X(z)zdz ??cF(z)?X(z)zn?1?3z?1?3?znn?1?z? ?1?22?5z?2z2(z?0.5)(z?2)（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点0.5，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
x(n)?2?nu(n)?2nu(?n?1)?2?n
（2（当收敛域z?2时，
n?0,c内有极点0.5,2,
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]
?3?zn?0.5?(z?2)z?22(z?0.5)(z?2)n ?0.5n?2n
n?0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留
数,可是c外没有极点,因此x(n)?0, 最后得到
x(n)?(0.5n?2n)u(n)
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
?y(n)?h(n)?x(n)?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,
m?b???nnny(n)??an?mm??mmn1?a?n?1bn?1an?1?bn?1b?aab?a?m?0m?01?a?1ba?b，n?0，最后得到
n)?an?1?bn?1y(a?bu(n)
（2）用ZT法求y(n)
X(z)?11?az?1,H(z)?11?bz?1 Y(z)?X(z)H(z)?1?1?az?1??1?bz?1?
y(n)?1n?12?j??cY(z)zdz
令?1F(z)?Y(z)zn?1?zn?1zn?1?az?1??1?bz?1??(z?a)(z?b) n?0,c内有极点a,b
y(n)?0 an?1bn?1an?1?bn?1y(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),b]???
a?bb?aa?b因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到
an?1?bn?1y(n)?u(n)
a?b28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
HR(ejw)?1?acosw,a?1 21?a?2acosw求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
1?acosw1?0.5a(ejw?e?jw)HR(e)?? 22jw?jw1?a?2acosw1?a?a(e?e)jw1?0.5a(z?z?1)1?0.5a(ejw?e?jw)HR(z)??
1?a2?a(z?z?1)(1?az?1)(1?az)求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。
he(n)??H2?j?cn?11R(z)zn?1dz
F(z)?HR(z)z?0.5az2?z?0.5an?1?z ?1?a(z?a)(z?a)因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a?z?a?1。
n?1时，c内有极点a,
?0.5az2?z?0.5an?11nhe(n)?Res[F(z),a]?z(z?a)?a ?1z?a2?a(z?a)(z?a)n=0时，c内有极点a,0，
F(z)?HR(z)zn?1?0.5az2?z?0.5a?1?z ?a(z?a)(z?a?1)所以
《数字信号处理》第三版课后习题答案
