《数字信号处理》第三版课后习题答案

由天下分享时间：2024/7/30 21:04:05 加入收藏我要投稿点赞

?（5）?X(ejw)dw

??2解：

（1）X(e)??x(n)?6

j0n??37?（2）?X(ejw)dw?x(0)?2??4?

??（5）?X(e)dw?2??x(n)?28?

jw??n??3?2726. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)??(n?1)??(n)??(n?1)；（3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解：（2）

1jw1?jw?jwnx(n)e?e?1?e?222n???

1 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2X2(e)?jw?1212（3） X3(e)?jwn?????au(n)en?jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae7. 设:

（1）x(n)是实偶函数，

（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。解：令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn

（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?jwn????x(n)e??jwn

两边取共轭，得到

X(e)?*jwn????x(n)e?jwn?n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)

因此X(ejw)?X*(e?jw)

上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。

X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

?由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

n????x(n)sinwn?0

?因此X(e)?jwn????x(n)coswn

?该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。

（2）x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即

X(ejw)?X*(e?jw)

X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

??由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么?x(n)coswn?0

n???因此X(e)?j?x(n)sinwn

jwn????这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。

10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

HR(ejw)?1?cosw

求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。解：

?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???

??h(n)e?jwn?1?e?jw?2e?jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)?anu(n),0?a?1，输入序列为

x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y(n)；

（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解：（1）

y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2ann?2u(n?2)

（2）

X(e)?H(e)?jwjwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e????jwn?1?2e?j2w1 ?jw1?aeau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)gX(e)?1?ae?jw13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对

%xa(t)进行采样，得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面

各题：

（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)；

%（2）写出xa(t)和x(n)的表达式；

%（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。

解：（1）

Xa(j?)??xa(t)e?j?tdt??2cos(?0t)e?j?tdt???????

??(e??j?0t?e?j?0t)e?j?tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以表示成：

Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])

?a(t)?（2） xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)

a0n?????x(n)?2cos(?0nT), ???n??

?0?2?f0?200?rad,T?1?2.5ms fs（3）