②0?n?3,y(n)??1?n?1
m?0n③4?n?7,y(n)?④7?n,y(n)?0 最后结果为
m?n?4?1?8?n
3?0, n?0,n?7?y(n)??n?1, 0?n?3
?8?n, 4?n?7?y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）
y(n)?2R4(n)*[?(n)??(n?2)]?2R4(n)?2R4(n?2) ?2[?(n)??(n?1)??(n?4)??(n?5)]
y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）
y(n)?x(n)*h(n) ?m??????R5(m)0.5n?mu(n?m)?0.5nm????R5(m)0.5?mu(n?m)
y(n)对于m的非零区间为0?m?4,m?n。 ①n?0,y(n)?0 ②0?n?4,y(n)?0.5③5?n,y(n)?0.5n4nm?0?0.5?mn?m1?0.5?n?1?0.5n??(1?0.5?n?1)0.5n?2?0.5n ?11?0.5m?0?0.51?0.5?5nn?0.5?31?0.5 ?11?0.5最后写成统一表达式：
y(n)?(2?0.5n)R5(n)?31?0.5nu(n?5)
11. 设系统由下面差分方程描述：
y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1)； 22设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。 解：
令：x(n)??(n)
h(n)?11h(n?1)??(n)??(n?1) 2211h(?1)??(0)??(?1)?12211n?1,h(1)?h(0)??(1)??(0)?122 11n?2,h(2)?h(1)?2211n?3,h(3)?h(2)?()222n?0,h(0)?归纳起来，结果为
1h(n)?()n?1u(n?1)??(n)
212. 有一连续信号xa(t)?cos(2?ft??),式中，f?20Hz,??（1）求出xa(t)的周期。
?2
%（2）用采样间隔T?0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号xa(t)的表
达式。
%（3）画出对应x并求出x(n)的a(t)的时域离散信号(序列) x(n)的波形，
周期。
————第二章———— 教材第二章习题解答
1. 设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(n?n0)； （2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：
（1）FT[x(n?n0)]?n????x(n?n)e0??jwn
令n'?n?n0,n?n'?n0，则
FT[x(n?n0)]???jwn*n?????x(n)e?'?jw(n'?n0)?e?jwn0X(ejw)
（2）FT[x(n)]?*n?????x(n)en????[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)
n????jwn（3）FT[x(?n)]?令n'??n，则
?x(?n)e
FT[x(?n)]?n'?????jwn'x(n')e?X(e?jw)
（4） FT[x(n)*y(n)]?X(ejw)Y(ejw) 证明： x(n)*y(n)???m????x(m)y(n?m)
?jwn?FT[x(n)*y(n)]?n???m????[?x(m)y(n?m)]e
令k=n-m，则
FT[x(n)*y(n)]? ?k???m?????[?x(m)y(k)]e?jwk?m??????jwk?jwnek????y(k)e?x(m)e?jwn
?X(ejw)Y(ejw)??1,w?w0jwX(e)?2. 已知 ?0,w?w???0?求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 解： x(n)?12??w0?w0ejwndw?sinw0n ?n3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)?H(ejw)ej?(w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)?Acos(w0n??)的稳态响应为
y(n)?AH(ejw)cos[w0n????(w0)]。
解：
假设输入信号x(n)?ejwn，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
0y(n)?h(n)*x(n)?m????h(m)e?jw0(n?m)?ejw0nm????h(m)e?jw0n?jw0m?H(ejw0)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
x(n)?Acos(w0n??)?y(n)?1A[ejw0nej??e?jw0ne?j?]21A[ej?ejw0nH(ejw0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)] 21 ?A[ej?ejw0nH(ejw0)ej?(w0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)ej?(?w0)]2上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
H(ejw)?H(e?jw),?(w)???(?w)1AH(ejw0)[ej?ejw0nej?(w0)?e?j?e?jw0ne?j?(w0)] 2 ?AH(ejw0)cos(w0n????(w0))y(n)??1,n?0,14. 设x(n)??将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列
0,其它?%%%x(n)，画出x(n)和x(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数°X(k)和傅
里叶变换。 解：
%(n)的波形如题4解图所示。 画出x(n)和x%%%X(k)?DFS[x(n)]??x(n)en?03?j2?kn4??en?01?jkn2??1?e?jk2? ?e?jk4?(ejk4??e?jk4?)?2cos(k)?e4??jk4?,
%X(k)以4为周期，或者
?jkn1?ee(e?e)%X(k)??e2???e?111?jk?j?kj?k?j?kn?01?e2e4(e4?e4)1??j?k1?j?k21j?k21?j?k21?j?k41sin?k2, 1sin?k4%X(k)以4为周期
2?%X(e)?FT[x(n)]?4jw2?%X(k)?(w?k)?4k???? ???%X(k)?(w?k)?2k???2?
?2k) ??cos(k)e?4k??????jk4??(w?5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列运算： （1）X(ej0)；
?（2）?X(ejw)dw；
??
《数字信号处理》第三版课后习题答案
