第5讲 一次函数和二次函数
课时数量 适用的学生水平 2课时（120分钟） √ ?优秀 ?中等 ?基础较差 掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征； 学会用配方法研究二次函数的性质； 教学目标（考试要求） 会运用待定系数法解题，理解二次函数的图象与系数a、b、c及一元二次方程两根、判别式之间的联系，并运用其性质解决有关问题． 重点：一次函数和二次函数的性质及图象特征． 教学重点、难点 难点：二次函数的性质运用． 建议教学方法
寓教于练，重在点拨 教学内容
一、知识梳理
1.函数y?kx?b(k?0)叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R ； （1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；
（2）一次函数y?kx?b(k?0)中，k叫直线的斜率，b叫直线在y轴上的截距； k?0时，函数是增函数，k?0时，函数是减函数；
（3）b?0时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；b?0时，它既不是奇函数，也不是偶函数；
4.函数y?ax?bx?c(a?0)叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；
（1）当b?0时，该函数为偶函数，其图象关于y轴对称；
2（2）当a?0时，抛物线y?ax?bx?c开口向上，二次函数的单调减区
2?4ac?b2b??b,???； 间为???,?，单调增区间为??,???，值域为??2a??2a?4a1
?? 提 示 二次函数图象的对称轴与x轴的交点是函数单调区间的界，在x轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等．
（3）当a?0时，抛物线y?ax2?bx?c开口向下，二次函数的单调增区
间为???,?b??b?4ac?b2?2a??，单调减区间为???2a,???，值域为????,?4a?； ?5.一次函数的图像与性质
二、方法归纳
1.二次函数的三种表示形式
（1）一般式：y?ax2?bx?c(a?0)．
（2）顶点式：y?a(x?m)2?h(a?0)，其中 (m,h)为抛物线的顶点坐标．
（3）两根式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
2.利用配方法求二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴方程为：
x＝－
b2a． 3.若二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)对应方程f(x)＝0的两根为x1、
x2，那么函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)图象的对称轴方程为：
2
x＝
x1?x2b＝－．
2a24.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．
三、典型例题精讲
［例1］二次函数y?ax2?bx和反比例函数y?大致是（ ） 2a?0，方程? ． 解析：由题义Ａ． Ｂ． ax?bx＝0的两根为Ｃ． x1?0、x2?Ｄ．b在同一坐标系中的图象xy y y y O x O x O x O x ba观察备选答案ABC中反比例函数y?答案A中a?0，x2??好，故选B．
b的图象，知b＞0， xbb＞0，矛盾；答案B中a?0，x2??＞0，正aa【技巧提示】 根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等．
又例：已知二次函数f(x)?ax?bx?3a?b为偶函数，其定义域为
2?a?1,2a? ，则函数的值域为 ．
解析：由题意，a≠0，b＝0，且2a??(a?1)，∴ a＝ 函数f(x)?1， 312x?1的值域为?1,???． 3［例2］对于每一个x，设f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
解析： 这是教材中的一道练习题．f(x)取y?4x?1，y?x?2，
y??2x?4三个函数中的最小值．于是f(x)的解析式为
3
1?4x?1,x??3?12?f(x)??x?2,?x?，
33???2x?4,x?2?3?
y y?4x?1 y?x?2 y??2x?4 x 28f(x)的最大值为f()＝．
33
O 【技巧提示】 理解f(x)取y?4x?1，y?x?2，y??2x?4 三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出f(x)的解析式是关键．
又例：对于任意x?R，函数f?x?表示?x?3，x?中的较大者，则f?x?的最小值是_ _（答案：2）
［例3］二次函数f?x?满足f?x?2??f??x?2?，又f?0??3，f?2??1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是( ) A. ?0,??? B. ?2,??? C. ?0,2? D. [2,4] 解析：由f?x?2??f??x?2? 知函数y?f(x)的图象关于直线 x＝2对称， 又f?0??3，f?2??1，图象如下， 由?0,m?上有最大值3，最小值1， 可知m的取值范围是?2,4?，故选D． 【技巧提示】 函数f?x?满足
3 1 O 2 x y 321x2?4x?3，2f?a?x??f?a?x?，则y?f(x)的
图象关于直线 x＝a对称，
其中f?a?x??f?a?x?也可用f?2a?x??f?x?代替；数形结合可以使解法更加便捷．
又例：已知二次函数y?f(x)满足f(6?x)?f(x) (x∈R)，且f(x)＝0
4
有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于( )
A．0 B．3 C．6 D．不能确定
解析：由f(x)?f(6?x) (x∈R) 知函数y?f(x)的图象关于直线 x＝3
对称，应有
x1?x2?3， x1＋x2＝6. 答案：C 2再例：函数y?x2?3x?4的定义域为?0,m?，值域为??的取值范围是
解析：函数f(x)?x?3x?4?(x?)?2?25?则实数m,?4?，
4??32225， 425， 4又f(0)?f(3)??4，f(x)的最小值为 ?∴ 实数m的取值范围是?,3?．
2?3???［例4］抛物线y?x2?(k?1)x?3k?2与x轴交于点(?,0),(?,0)两点且
?2??2?17.求k的值.
解析： 由题意 ?,? 是方程x2?(k?1)x?3k?2?0的两根，
∵ ????k?1,????3k?2，又?2??2?17 即(???)?2???17，
∴ (k?1)2?2(?3k?2)?17 ， 解得k1?2，k2??6． 当k1?2时△＞0，当k2??6时△＜0（舍去） ∴k?2．
【技巧提示】抛物线与x轴交于点的横坐标是二次函数f(x)所对应的方程
2f(x)＝0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式△，是解答本题的重要基
础知识．
又例： 如果二次函数y?kx?7x?7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
27 47 C．k≥－
4 A．k＞－
7 且k≠0 47 D．k＞－ 且k≠0
4 B．k≥－
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高一数学一次函数和二次函数知识点 - 图文
