第五章 函数的应用（二） 4.5.1 函数零点与方程的解
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.5.1节《函数零点与方程的解》，由于学生已经学过一元二次方程与二次函数的关系，本节课的内容就是在此基础上的推广。从而建立一般的函数的零点概念，进一步理解零点判定定理及其应用。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
课程目标 1、了解函数（结合二次函数）零点的概念； 2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系,掌握零点存在性定理的运用； 3、在认识函数零点的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学数形结合及函数思想；
教学重点：零点的概念及存在性的判定； 教学难点：零点的确定．
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学科素养 a.数学抽象：函数零点的概念； b.逻辑推理：零点判定定理； c.数学运算：运用零点判定定理确定零点范围； d.直观想象：运用图形判定零点； e.数学建模：运用函数的观点方程的根； 1
教学过程 设计意图核心教学素养目标 （一）创设问题情境 问题1 求下列方程的根． 通过对一元二（1）6x?1?0； （2）3x2?6x?1?0； （3）3x5?6x?1?0； 次方程与二次函解方程的历史 数关系的回顾，提出新的问题，提出运用函数求 解方程的思路；公元50年—100年 方程解法时间图 · 中国 11世纪·北宋·贾宪 培养和发展逻辑1推理和数学抽任意7世纪·隋唐·王孝通 象、直观想象的核心素养。 一次方程、二次方程 三次或三次以 三次方程正根数和三次方程根 上方程 值解法 方程解法时间图 · 西方 9世纪·阿拉伯花拉子米 18 1545年·意大利 卡尔达诺 1541年·意大利 塔尔塔利亚 记载了费拉里一次方程、二次方程 证明的四次方程一的一般解法 三次方程一 般解法 般解法 （二）问题探究 探究1：观察函数的图象思考： 方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 根 x1=-1，x2=3 x1=x2=1 无实数根 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 y 通过特殊的y y 二次函数问题的4 4 4 探究，推广一般2 2 O 2 图象 的方程求解问题O O -1 2 3 的方法，提出零-1 2 3 x --1 2 3 的的概念；发展---学生逻辑推理， -直观想象、数学 2 图象与x轴的交点 两个交点： (-1,0)(3,0) 一个交点：(1,0) 没有交点 1.方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系? 1).方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同. 2).方程的根是函数与x轴交点的横坐标. 3).若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点. 思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？ 判别式Δ 方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 函数的图象与x轴的交点 Δ＞0 两个不相等的实数根x1、x2 Δ＝0 有两个相等的 实数根x1 = x2 Δ＜0 没有实数根 y y y O x1 x2 x O x1 x O x 无交点 两个交点： (x1,0)，(x2,0) 一个交点： (x1,0) 一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。 推广到更一般的情况，得： 方程f(x)0的实数根函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标 零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 函数的零点是一个点吗？ 问题1: 零点不是一个点，零点指的是一个实数. 问题2: 试归纳函数零点的等价说法？ 跟踪训练 1．思考辨析 (1)所有的函数都有零点．( ) (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．函数y＝2x－1的零点是( ) 1?11，0 C.?0，? D．2 A. B.??2??2?2抽象、数学运算等核心素养； 通过零点概念的辨析，进一步提出零点判定定理，发展学生数 3
1A [由2x－1＝0得x＝.] 2零点存在性定理的探索． 问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？ 观察函数的图象： ①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）． y a c O b d x 零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根. 定理解读 思考1:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b) <0，那么零点存在性定理还成立吗？ 学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养； y yO a b a x Ob ab xa b 例１ 求方程??????+2???6=0的实数解的个数． 分析：可以先借助计算工具画出函数??=??????+2???6的图象 或列出??，??的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助． 解：设函数??(??)=??????+2???6，利用计算工具，列出函数??=??(??)的对应值表 并画出图象由表和图可知，??(2)<0，??(3)>0 ，则??(2)??(3)<0．由函数零点存在定理可知，函数??(??)=??????+2???6在区间（２，３）内至少有一个零点． 容易证明，函数??(??)=??????+2???6 ，??∈（０，＋∞）是增函数， 所以它只有一个零点，即相应方??????+2???6=0只有一个实数解． 4
通过练习巩固本节所学知识，巩固对函数零点及1判定定理的理C [由f(x)＝0得2x2－3x＋1＝0，∴x＝或x＝1，所以函数f(x)有2个零点．] 2解，增强学生的直观想象、数学2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( ) 抽象、数学运A．(0,1) B．(1,2) 算、逻辑推理的C．(2,3) D．(3,4) 核心素养。 【答案】B [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0， ∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．] 3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( ) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 【答案】D [∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．] 4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________． 【答案】B(－1,0) [∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内， ???f0<0，?b<0，?∴∴?∴－1
第五章 函数的应用(二)4.5.1 函数零点与方程的解
