本题考查三棱锥外接球半径的求法，注意利用球心的性质确定球心的位置.另外，在计算线段的长度时，注意利用解三角形的相关知识来帮助求解. 10．若函数围为( ) A.C.
B.D.
在区间
内单调递增，则实数的取值范
【答案】C
【解析】先利用复合函数同增异减法得出函数
， 于此得出【详解】 由二次函数
，即
的对称轴为
，解得.
的单调递增区间为
在区间
，即
，解得
内单调递增，
，故选：C.
．
.
，然后列不等式组可解出实数的取值范围.
的单调递增区间为
由复合函数单调性可得函数要使函数则【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性与参数，解本题的关键在于将区间转化为函数单调区间的子集，利用集合的包含关系求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x)，当x??0,1?时，f(x)??2x?1，设函数
?1?g(x)????2?A．2
x?1(?1?x?3)，则函数f(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为（）
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】根据f（x）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数．
【详解】
∵f（x+1）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）， ∴f（x）的周期为2．
∴f（1﹣x）＝f（x﹣1）＝f（x+1）， 故f（x）的图象关于直线x＝1对称．
1又g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x＝1对称，
2作出f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点， 故选：B． 【点睛】
本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数与方程的思想及数形结合思想，属于中档题．
12．若存在两个正实数x,y使得等式x(1?lnx)?xlny?ay成立，则实数a的取值范围是（ ）
1??A．???,?
3???1?B．?0,?
?e??1?C．?0,2?
?e?1??D．???,2?
e??【答案】D
【解析】可把x(1?lnx)?xlny?ay化简为1?ln后可求a的取值范围. 【详解】
方程x(1?lnx)?xlny?ay可化为1?lnxyy??a，令t?， yxxxyy??a，令t?可得1?lnt??at，参变分离yxx
则1?lnt??at即a?令g?t??lnt?1，在（0，+?）有解， t1??lnt?1?2?lntlnt?1?，则g?t??， ?tt2t222当t??0,e?时，g??t??0，g?t?在?0,e?为增函数；
22当t??e,???时，g??t??0，g?t?在?e,???为减函数；
又当t趋近于0时，g?t?趋近于??，
1?1???所以g?t?的值域为???,2?，故a????,2?，选D.
e?e???【点睛】
对于多变量的方程，可以利用代数变形的方法将变量的个数降低，再利用参变分离的方法把参数的取值范围问题转化为一元函数的值域问题，后者可利用导数的方法来处理.
二、填空题 13．函数f(x)?1?lnx的定义域为__________．
2x?2【答案】?0,1?(1,e]
【解析】利用偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】
?x?0?x?0??依题意得?1?lnx?0，得?0?x?e，即函数的定义为?0,1???1,e?.
?x?1?2x?2?0
??【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.属于基础题.
14．已知?，?为锐角，且(1?3tan?)(1?3tan?)?4，则????_____．
【答案】
2? 3【解析】将题目所给方程展开后，化简为tan?????的形式，由此求得???的大小. 【详解】
将1?3tan?1?3tan??4展开得?3?tan??tan???3?1?tan??tan??，即
tan??tan?2π?tan???????3，由于?，?为锐角，0?????π，故????.
1?tan??tan?3????【点睛】
本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.
x15．设函数f?x??e?x?1?，函数g?x??mx，若对于任意的x1???2,2?，总存在x2??1,2?，使
得f?x1??g?x2?，则实数m的取值范围是_____． 【答案】(??,?)
122?上的最小值大于g?x?在?1,2?上的最小值，分别求出两个【解析】由题意可知，f?x?在??2,函数的最小值，即可求出m的取值范围. 【详解】
2?上的最小值大于g?x?在?1,2?上的最小值. 由题意可知，f?x?在??2,f??x??xex，当x???2,0?时，f??x??0，此时函数f?x?单调递减； 当x??0,2?时，f??x??0，此时函数f?x?单调递增.
2?上的最小值为-1. f?0??e0?0?1???1，即函数f?x?在??2,函数g?x??mx为直线，
当m?0时，g?x??0，显然?1?0不符合题意；
当m?0时，g?x?在?1,2?上单调递增，g?x?的最小值为g?1??m，则m??1，与m?0矛盾；
1当m?0时，g?x?在?1,2?上单调递减，g?x?的最小值为g?2??2m，则?1?2m，即m??，
2符合题意.
1??故实数m的取值范围是???,??.
2??【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题. 16．已知四边形
,设
①
平面
为矩形,
,为
的中点,将
沿
折起,得到四棱锥
的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ，且
的长度为定值
；
. ；
②三棱锥的最大体积为
③在翻折过程中，存在某个位置，使得
其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①② 【解析】取
的中点，连接
、
，证明四边形
为平行四边形，得出
的体积为三棱锥
体积的最大值，可判断得出
平面
，，可
判断出命题①的正误；由为
的一半，并由平面
出命题②的正误；取推出【详解】 如下图所示：
的中点，可知三棱锥平面
，由
，得出三棱锥
，结合
的中点，连接
得出矛盾，可判断出命题③的正误.
对于命题①，取的中点，连接、，则，，
2024届河北唐山市区县高三上学期第一次段考数学(文)试题Word版含解析
