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1．给出下列等式：
①a·0=0；②0·a=0；③0-AB=BA；④|a·b|=|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2. 以上成立的是（ ）
A.①②③⑥⑦ B.③④⑦ C.②③④⑤ D.③⑦ 思路解析：按照定义、性质、运算律作答即可. 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0=0，故①错； 对于②：应有a·0=0，故②错； 对于③：很明显正确；
对于④：由数量积定义，有|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|，故④错；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b=0，故⑤错； 对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥错； 对于⑦：a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，故⑦正确. 答案：D 2．（北京高考卷，理3）若|a|=1，|b|=2，c=a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（ ） A.30° B.60° C.120° D.150°
思路解析：要求a与b的夹角，根据夹角公式需先求夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定其值.设a与b的夹角为θ.∵c⊥a，∴c·a=0.∴（a＋b）·a=0. ∴|a|2+b·a=0.∴b·a=-1. ∴cosθ=
a?b1??.
|a||b|2又∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°.
答案：C
3．已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a·b＜0和a·b=0时，△ABC的形状分别是（ ） A.钝角三角形，直角三角形 B.锐角三角形，直角三角形 C.锐角三角形，钝角三角形 D.锐角三角形，斜三角形 思路解析：由a·b＜0可知a与b的夹角为钝角，即∠A是钝角；当a·b=0时，可知a与b的夹角为直角，即△ABC是直角三角形. 答案：A 4．（辽宁高考卷，理12）设O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）,点P是线段AB上的一个动
PB,则实数λ的取值范围是（ ） 点,AP=λAB,若OP·AB≥PA·
A.
21≤λ≤1 B.1?≤λ≤1
222221≤λ≤1+ D.1?≤λ≤1+
2222C.
思路解析：由题意得AP=λAB?OP=(1-λ)OA+λOB=(1-λ,λ)，PB=AB-AP=(1-λ)
AB=(λ-1,1-λ), AP=λAB=PB，（-λ,λ）,又∵OP·AB≥PA·∴(1-λ,λ)·(-1,1)≥（λ,-λ)·(λ-1,1-λ).
∴2λ2-4λ+1≤0.∴1?22≤λ≤1+.因点P是线段AB上的一个动点,所以0≤λ≤1,即满足条件222≤λ≤1. 2的实数λ的取值范围是1?答案：B 5．（湖南高考卷，理,5）已知|a|=2|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（ ） A.［0，
???2??］ B.［，π］ C.［,］ D.［，π］ 63336x
的方程
x2+|a|x+a·b=0
有实根，
思路解析：∵|a|=2|b|≠0，且关于
211?a?ba?b|b|∴|a|2-4a·b≥0.∴a·b≤|a|2=|b|2.∴cos〈a,b〉==，∴θ∈［,π］. ??2243|a||b|2|b|2|b|2答案：B
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为
2?，则a在e方向上的投影为______________. 3a?e2?=|a|·cos=－2. |e|3思路解析：由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为答案：－2
7.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求： （1）a·b； （2）（3a）·（
1b）； 5（3）（3b－2a）·（4a+b）.
思路分析：第（1）题直接由定义可得，（2）和（3）则利用向量数量积的运算律计算. 解：（1）a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60. （2）（3a）·（
133b）=（a·b）=×（-60）=-36. 555（3）（3b－2a）·（4a+b）=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×（-60）+3×122-8×102=-968.
我综合 我发展 8.已知向量OA=a，OB=b，∠AOB=60°，且|a|=|b|=4.
(1)求|a+b|,|a-b|；
(2)求a+b与a的夹角；a-b与a的夹角.
思路分析：本题可以直接利用长度公式和夹角公式求解；也可利用已知条件画出图形，数形结合. 解法一：（1）|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16
=48,
∴|a+b|=43.
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos60°+|b|2 =42-2×4×4cos60°+42=16-16+16=16, ∴|a-b|=4.
(2)记a+b与a的夹角为α，a-b与a的夹角为β.
(a?b)?aa2?b?a42?4?4cos60?3则cosα=，∴α=30°. ???|a?b||a||a?b||a|243?4(a?b)?aa2?b?a42?4?4cos60?1???,∴β=60°. cosβ=
|a?b||a||a?b||a|4?42解法二：如图2-5-8所示，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.
图2-5-8
∵|a|=|b|=4，∴四边形OACB为菱形.
(1)a+b=OA+OB=OC，a-b=OA?OB=BA，又∠AOB=60°， ∴|a+b|=|OC|=2|OD|=2×
3×4=43.a-b=|BA|=4. 2(2)在△OAC中，∠OAC=120°， ∴∠COA=∠OCA=30°.a+b与a的夹角即∠COA=30°， a-b与a的夹角即BA与OA所成的角为60°.
9.向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
思路分析：向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得. 解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1， ∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7. ∵向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角， ∴2t2+15t+7＜0. ∴－7＜t＜－
1. 2设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0），则2t=λ，且7=tλ， ∴2t2=7. ∴t=?14，λ=?14. 2
∴当t=?14时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π. 214141）∪（?，-）. 222∴实数t的取值范围是（-7，?10.四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形?
思路分析：四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系. 解：由题意，得a+b+c+d=0， ∴a+b=-(c+d）.
∴（a+b）2=（c+d）2， 即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2. 由于a·b=c·d，
∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①
同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②
由①②可得|a|=|c|且|b|=|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵a·b=b·c，∴b·（a－c）=0.
由平行四边形ABCD可得c=－a，代入上式得b·（2a）=0， 即a·b=0. ∴a⊥b， 即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
数学北师大必修自主训练：从力做的功到向量的数量积 含解析
